電気回路学講義ノート

分布定数回路(伝送線路)とは
電圧(電界)、電流(磁界)は回路
内の位置に依存
TE, TM波
v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)
E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)
立体回路
x, y, z ≥ λ
x
λ
y
z
分布定数回路
λ
d
d≪λ
l≥λ
l
Maxwell方程式を解かなければ
ならない (電磁気学の範疇)
本章で扱う分布定数回路(伝送線路)
電圧、電流は線路上の位置に
依存 v(z, t), i(z, t)
TEM波
集中定数回路
d
x
l
y z
λ
これまでの章で扱ってきた回路
電圧、電流は回路部品内での
位置には依存しない v(t), i(t)
x, y, z, d, l≪λ
波長λ = c/f c: 光速度、f: 周波数
c = 約3×108 m/sなので、
f = 50Hzでは λ = 6,000 km
f = 3GHzでは λ = 10 cm
伝送線路(分布定数回路)
R
L
送電端
受電端
i+Δi
v+Δv
E
i
v
Δx
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m)
C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
i+Δi R Δx
v+Δv
ZL
x
L Δx
C Δx
Δx
微小区間の等価回路
x=0
C
G
i
G Δx v
線路の伝送方程式
伝送路微小区間 Δx の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、
v  Rx(i  i)  Lx{(i  i) / t}
i  Gx  v  Cx(v / t )
従って、 v  R (i  i )  L  (i  i )
x
t
i
v
 Gv  C
x
t
v v
i

 Ri  L
x 0 x
x
t
i i
v
lim

 Gv  C
x 0 x
x
t
lim
伝送の
基礎方程式
v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)
基礎方程式第1式の両辺を x について微分し、第2式と以下の関係式より、
 (i t )
 (i  i ) / t  i t
 (i ) / t
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
x
電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。
 2v
v
 2v
 RGv  ( RC  GL)  LC 2
x 2
t
t
電信方程式あるいは伝送方程式
 2i
i
 2i
 RGi  ( RC  GL)  LC 2
2
電圧(電流)が波動として伝送線路を伝搬
x
t
t
していく様子を表す波動方程式の一種
伝送方程式の定常解
v(t, x), i(t, x)正弦波交流(高周波)の場合を考えると、
v(t , x)  Vx e j t
と表せる
ここで、: 角周波数
j t
i(t , x)  I x e
Vx, Ixは位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない(つまり、変数分離できる)とする
この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない
伝送の基礎方程式に当てはめると、
dVx
 ( R  jL) I x zI x
dx
dI x
 (G  jC )V x yVx
dx
上式より、
d 2Vx
 zyVx
2
dx
d 2Ix
 zyI x
dx2
式(8.8)
ただし、R + jL = z, G + jC = y と置いた
波動方程式を得る
(電信方程式からも直接導出できる)
波動方程式の解
波動方程式の一般解
Vx  V0 e
I x  I 0 e
zy x
zy x
 V0 e 
 I 0 e 
zy x
zy x
V0 , V0 , I 0 , I 0 は積分定数
この一般解を式(8.8)の第2式に代入すると、
I0  V0 / z y , I0  V0 / z y
従って、
Vx  V0 e x  V0 e  x
V0  x V0  x
Ix 
e 
e
Z0
Z0
 , Z0は、伝送線路を特徴づける
ここで、
    j  yz , Z0  z y
 : 伝搬定数
 : 減衰定数単位: ネーパ(Np)
 : 位相定数単位: ラジアン(rad)
ことから、線路の二次定数という
Z0: 特性インピーダンス単位: オーム(W)
これに対して R, G, L, Cは、線路
の一次定数という
波長 λ = 2π /
周期 T =1/f = 2π /
線路の一次定数と二次定数
伝送線路を特徴付けるパラメータには、線路の一次定数と二次定数とがある
一
次
定
数
(実数)
R (W/m)
一次定数と二次定数との関係式
L (H/m)
C (F/m)
    j  (R  jL)(G  jC)
G (S/m)
二
伝搬定数 γ = α + jβ
次
定
減衰定数 (Np) 位相定数 (rad)
数
(複素数) 特性インピーダンス Z0 (W)
Z0 
R  jL
G  jC
波の伝搬
時間依存因子ejt を含む伝送式
Vx e j t  V0 e x e j t  V0 e  x e j t  V0 e x e j ( t   x )  V0 e  x e j ( t   x )
I xe
j t
V0  x j t V0  x j t V0  x j ( t   x ) V0  x j ( t   x )

e e 
e e 
e e

e e
Z0
Z0
Z0
Z0
ej(t±x) は、∓x方向に進む角周波数 , 位相定数  の正弦波を表す
何故なら、ej(t±x) =cos(t±x)+j sin(t±x)

ここで、 ( v p )

x
vp: 位相速度
V0e x は波の振幅を表し、 >0 ( <0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
x
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
d
vg 
d
波の伝搬
Vxe j t  V0e xe j ( t  x)  V0e xe j ( t  x)
−x方向(つまり、送電端から受電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)
で、 α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波
+x方向(つまり、受電端から送電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、
α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波
送電端
受電端
x
入射波
E
反射波
ZL
Vx  Vx  Vx  (入射電圧波)  (反射電圧波)
I x  I x  I x  (入射電流波)  (反射電流波)

1
1
(Vx  Vx )  {(入射電圧波)  (反射電圧波)}
Z0
Z0

 x

  x
ただし、 Vx  V0 e , Vx  V0 e

x
 x
0
I I e
V0 e x
V0 e  x

  x

, I x  I0 e  
Z0
Z0
Z0 I x  Vx  Vx
線路上での電圧と電流
送電端
受電端
l
Ix
E
I0
Vx
V0 ZL
x
x=0
線路上の任意の点 x での電圧 Vx、電流 Ixは、前頁の式より
Vx  Vx  Vx
Z 0 I x  Vx  Vx
であった。
従って、受電端 x = 0 での電圧 V0、電流 I0は、
1
V0  Z 0 I 0 
V0  Z 0 I 0  2V
V0  V  V
2
従って、



1
V0  Z 0 I 0  2V0
Z 0 I 0  V0  V0
V0  V0  Z 0 I 0 
2
線路上の任意の点 x での電圧と電流を、受電端電圧と電流 V0および I0で表すと、
1
1
Vx  (V0  Z 0 I 0 )e x  (V0  Z 0 I 0 )e  x
2
2
左式で、右辺の第1項は入射波を
1
1
第2項は反射波を表わす
Ix 
(V0  Z 0 I 0 )e x 
(V0  Z 0 I 0 )e  x
2Z 0
2Z 0

0

0

0
V0 
線路の縦続行列
送電端
Ix
E
受電端
l
I0
Vx
x
V0 ZL
E
A
B
C
D
Vx  V0 cosh x  Z 0 I 0 sinh  x
V0
sinh  x  I 0 cosh x
Z0
が得られる
左式に双曲線関数の公式
1
cosh  x  (e x  e  x )
2
を適用すると、
1  x  x
sinh  x  (e  e )
2
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
 Vx  
V0 
    1
 I 
sinh

x
cosh

x
I
 0 
 x Z
 0

従って、特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対するF行列は、
 cosh  l
 A B 

   1
 C D   Z sinh  l
 0
ZL
x=0
線路上の任意の点 x での電圧と電流
1
1
Vx  (V0  Z 0 I 0 )e x  (V0  Z 0 I 0 )e  x
2
2
1
1
Ix 
(V0  Z 0 I 0 )e x 
(V0  Z 0 I 0 )e  x
2Z 0
2Z 0
Ix 
受電端
送電端
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

AD
線路は対称
AD  BC  cosh2  l  sinh2  l  1
線路は相反(可逆)回路
演習問題
8.17
特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 , 長さ l の線路に対応するF行列は、
l
Z0

 cosh  l
 A B 

   1
 C D   Z sinh  l
 0
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

AD  BC  cosh2  l  sinh2  l  1
B
 Z 02  Z 0
C
A
B
C
D
式(8.26) p.170
従って、線路は相反(可逆)
BC
sinh 2  l

 tanh  l
2
AD
cosh  l
受電端を開放(I0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス Zf は、
I0=0
l
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
V0 
1




 I   sinh  x cosh  x  0 
Zf
Z0
V0
 
 x Z
 0

x
x =0
演習問題
よって、 Z f  Vx
Ix

I 0 0
cosh  x
 Z 0 coth x
1
sinh  x
Z0
受電端を短絡(V0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス ZS は、
I0
l
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
 Vx  
 0 
1
   

 I 
ZS
Z0
V0=0
sinh

x
cosh

x
I
 0 
 x Z
 0

x
x =0
よって、 Z S 
Vx
Ix

V0  0
Z S Z f  Z  Z0
2
0
Z 0 sinh  x
 Z 0 tanh x
cosh  x
ZS
 tanh 2  x  tanh  x
Zf
演習問題
受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の方を見た
入力インピーダンス Zin は、
I0
l
Zin
Z0
x

V0
ZL
V0  Z L I 0
x =0
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
V0 
    1
 

sinh

x
cosh

x
 I 0 
 Ix   Z
 0

よって、
Z0
( Z cosh  x  Z 0 sinh  x)
Vx
Z L cosh x  Z 0 sinh  x sinh  x L
Z in 


Z
I x V Z I
Z L  Z 0 coth x
L
sinh  x  cosh  x
0
L 0
Z0

Z0
cosh x
sinh  x
(Z L  Z 0
)
Z coth x( Z 0 tanh x  Z L ) Z f ( Z S  Z L )
sinh  x
cosh  x
 0

Z L  Z 0 coth x
Z 0 coth x  Z L
Z f  ZL
演習問題
1. 電源電圧 E, 内部インピーダンスが Z0 の電源に、伝搬定数が  ,
特性インピーダンスが Z0, 長さが l の線路が接続されている。これ
に等価な電圧源を求めよ。さらに、線路が無損失なら、それはどの
ように表わせるか? ただし、sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ である。
l
Z0
E
 , Z0
2. 全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見た
インピーダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から
見たアドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、
特性インピーダンス Z0、および1km当たりのリアクタンス X、サセプタンス
B を求めよ。
解) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km

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