電気回路学講義資料

円線図とは
回路の何らかの特性を複素平面上の円で表したもの
例えば、ZLの変化に応じてZinが変化する様子
AZL  B
Z in 
CZ L  D
Zin
A B
C D 


ZL
一次分数関数 (双一次関数)
Az  B
w
Cz  D
(z の一次分数関数)
j
z の円
複素平面上で z が円(直線も r = ∞の円と考える)を描
くならば、 w も円を描く
一次分数関数は、複素平面上の円を円に写像する
0
wの円
円から円への写像
円から円への写像
w  z  H1
(平行移動)
w  H2z
(相似回転)
j
wの円
j
z の円
ejr 回転
|H2|z の円
H 2  H 2 e jr
H1
0
w
1
z
wの円
(反転鏡像)
1
をとること)し、実軸に対しての
z
鏡像(その複素共役)をとる
z の円を反転(
r
0
相似変換
z の円
j
反転
z の円
鏡像
0
wの円
反転の3つの場合
反転の三つの場合
(a) z が原点を含まない円を描く場合
j
(b) z が原点を含む円を描く場合
j
A
z
A
z
1/ z
B
0
B
0
(1, 0)
(1, 0)
1/ z
(c) z が直線を描く場合
j
A
z
B
1/ z
0
(1, 0)
点Aに対しての反転である点Bは、
点Aと原点0を結ぶ直線上にある
∵ 点Aの座標をa + jbとすると、点Bの座標は、
1
a  jb
 2
a  jb a  b 2
よって、arg A = arg B
円線図の例
I
j
X=∞
j
R
V Zin
jX
V  Zin I
R = 0 RI
Zin  R  jX
V
R と jXの直列接続
電圧線図を描いてみよう
電流フェーザを実軸上にとると
0
RI
R=∞
jXI
V
jXI
I
0
X=0
I
X固定、R可変(R>0)の場合
j
さらに大きくなると
Rが大きくなるにつれて
R=0の時
jXI
V V
jXIV
0
I
X固定、R可変の場合
X = −∞
電圧線図
R固定、X 可変の場合
円線図(インピーダンス線図)
j
R
Zin
R=0
R
R=∞
Zin  R  jX
jX
jX
X=0
0
0
R と jXの直列接続
Z in 
I
X固定、R可変(R>0)の場合
j
j
1
R
jX
X増大
R=0
1/X 0 R=∞
X
R と jXの並列接続
X = −∞
R固定、X可変
R=∞
1
1

R jX
X
V Zin
X=∞
j
鏡像
R増大
鏡像
X=0
X=∞
0
X=∞ X=−∞
1/R
反転
1
1

X減少 R jX
X=0
R
R=0
1
1

反転 R jX
R=∞
X固定、R可変
R固定、X可変(X>0)
R固定、X可変(X<0)
RL並列回路のインピーダンス線図
RL並列接続回路のインピーダンス線図を描け
RL並列回路のインピーダンスZは、
jLR
 2 L2 R
LR 2
Z
 2
j 2
 x  jy
2 2
2 2
R  jL R   L
R  L
R一定でLが変化する場合、
2
2
R

 R
  x    y2   
2

2
j
L=0
0
 x2  Rx  y 2  0
これは、Z 平面上の(R/2, 0)に中心をもつ半径R/2の円
R, L > 0なので、x, y > 0
従って、Z 平面上の第1象限にのみに
限定された円となる
R
2
R
L
2
L増大
Z
R
と置いた
( 2 L2 R) 2  (LR 2 ) 2
(LR) 2
x y 
 2
 Rx
2
2 2 2
2 2
(R   L )
R  L
2
 2 L2 R
x
2
2 2
R  L
LR 2
y
R 2   2 L2
L=∞
L = 0のとき、x, y = 0
L = ∞のとき、x = R, y =0
RL並列回路のインピーダンス線図
L一定でRが変化する場合、
( 2 L2 R) 2  (LR 2 ) 2
(LR) 2
x y 
 2
 Ly
2
2 2 2
2 2
(R   L )
R  L
2
2
 x 2  Ly  y 2  0
L   L 

 x2   y 
 

2
2

 

2
2
 2 L2 R
x
2
2 2
R  L
LR 2
y
R 2   2 L2
これは、Z 平面上の(0, L/2)に
中心をもつ半径L/2 の円
j
R=∞
R, L > 0なので、x, y > 0
L
従って、Z 平面上の第1象限にのみに
限定された円となる
L
2
R増大
Z
R = 0のとき、x, y = 0
R = ∞のとき、x = 0, y = L
0R = 0
例題
例題10.7
下の回路インピーダンス線図を描け
j
C
Z
R
1
1
 jC
R
C = ∞ (f = ∞)
1
 jC
R
反転
R C = 0 (f = 0)
C = ∞ (f = ∞) 0
C = 0 (f = 0)
1/R
R
鏡像
C増大
(f 増加)
演習問題1
図のような回路の電源周波数ωを変化させたとき、
流れる電流 I のベクトル軌跡を示せ
I
L
E
ω
R1
R2
解答
電流 I は、 I 
E
E

R1 jL  R2
I
となる。
L
E
ω
j
ω=∞
0
R1
R2
ω=∞
反転
1 E
ω = 0 R2 R2
ω=0
R2
E
鏡像
1 jL  R
2
jL  R2
E
R1
0 ω=∞
E
E

R1 2R2
E E

R1 R2
ω=0
E
E

R1 jL  R2
演習問題2
(10.9) 下の回路において、Rが可変であるとき、Rを流れる電流のフェーザ軌跡を描け
ただし、M2 ≠ L1L2, M ≠ L2とする
M
E
j ( L2  M )
I

j ( L2  M )( jM  R)
 j ( L1  M ) j ( L2  M )  jM  R
L1
L2
j ( L2  M )  jM  R
E1
E

≡ YE
L1  L2  2M
L1 L2  M 2
R  j
R
まず、Y の軌跡を考える
L2  M
j
L1-M L2-M
L2  M
L2  M
 ( L1 L2  M 2 )
L L M
j 1 2
L2  M
I
R
R=0
L1  L2  2M
L1L2  M 2
R  j
L2  M
L2  M
R=0
2
R=∞
R=∞
E
0
M
E1
j
L2  M
j
 ( L1 L2  M 2 )
R=0
Eを実数にとると
I
j
E ( L2  M )
 ( L1 L2  M 2 )
円-円対応の証明
複素数 z が複素平面上において円周上を動くとき、
w
a0 z  b0
も複素平面上において円周上を動くことを証明する
c0 z  d 0
(1)
即ち、 (z  e)(z  e)  p( 0)  (w  f0 )(w  f0 )  q0 ( 0) を証明する
(2)
(3)
z
e
(1)より、 w  f0 
従って(3)より、

f0
w
a0 z  b0
a z  b1
zb
 f0  1
 a2 
c0 z  d 0
c0 z  d 0
zd
q
zb zb

 0  q(  0)
z  d z  d a2 a2
これを変形して、 (q  1)zz  (qd  b)z  (qd  b)z  qd d  bb  0
円-円対応の証明(続き)
q  1 のとき、 qd  b  e とおき、
q 1
(qd  b)(qd  b) qd d  bb q(b  d )(b  d )


 p( 0)
2
2
(q  1)
q 1
(q  1)
q  1 のときには (d  b)z  (d  b)z  d d  bb  0
d  b  s とおくと sz  sz  sb  sb  ss  0
(sz の実数部)
sz  sz
sb  sb  ss

 r (実数)となる
2
2
即ち sz は実数軸に平行な直線上を動く
従って z は直線上を動く
とおくと (2) が得られる
今後の講義日程と内容
日程 (回目)
講義内容
朝倉書店電気回路
–三相、過渡現象、線路 –
喜安善市、斉藤伸自著
8章分布定数線路
8.1 線路の伝送方程式
11/27(第9回) 8.2 伝送方程式の定常解
8.3 波の伝ぱん
8.4 線路の縦続行列
8.5 波の反射
12/4 (第10回) 8.6 反射係数
朝倉書店電気・電子工学
基礎シリーズ
電気回路山田博仁著
7章分布定数回路
7.1 分布定数回路とは
7.2 伝送線路
7.3 伝送方程式の定常解
7.4 波の伝搬
7.5 線路の行列表現
7.6 線路端条件による電圧・電流分布
7.7 波の反射と定在波
7.8 反射係数
8.8 理想線路、無ひずみ線路、RC線路
8.8.1 理想線路
7.9 各種線路
a 理想線路
12/11(第11回) 8.8.2 減衰極小条件
8.8.3 無ひずみ線路
b 減衰極小条件と無ひずみ線路
9章分布定数回路としての線路
7.10 複合線路
9.1 複合線路
演習 (大寺康夫先生)
12/18(第12回)
9.2 無損失線路と反射波、インピーダンスの測定
7.11 無損失線路上での電圧, 電流
9.2.1 伝送式
a 線路の伝送式
9.2.2 電圧、電流の円線図
1/8(第13回)
b 線路上の電圧, 電流の円線図
9.2.3 定在波比
c 定在波比
9.2.4 定在波による負荷の測定

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