電気回路学講義ノート

演習問題解答例
3. Fパラメータが既知の二端子対回路に電圧源 Eとインピーダンス ZGが接続された
回路に対する等価電圧源を求めよ。
I2
I1
Z0
ZG
A B
Zout
E0 Z0
V2 V2|I2 = 0
V1
E0
E
C D
等価電圧源の内部インピーダンス Z0 は、元の回路の出力インピーダンス Zout に等しい。
V1
B
DZG  B
V
DV1  BI1
 I1
 2 


= Z0
I 2 CV1  AI1 C V1  A CZ G  A
 I1
D
Z out
次に等価電圧源の電源電圧 E0 は、元の回路の出力開放電圧 V2|I2 = 0 に等しい。
V1  AV2
I1  CV2
E  ZG I1  V1
より V2 を求めると、 V2 
E
A  CZ G
これが E0 に相当する。
今後の講義日程
12/19
1/9
1/16
1/23
喜安、斎藤著電気回路
8章分布定数線路
8.1 線路の伝送方程式
8.2 伝送方程式の定常解
8.3 波の伝ぱん
山田博仁著電気回路
7章分布定数回路
7.1 分布定数回路とは
7.2 伝送線路
7.3 伝送方程式の定常解
7.4 波の伝搬
8.4 線路の縦続行列
7.5 線路の行列表現
8.5 波の反射
7.6 線路端条件による電圧・電流分布
8.6 反射係数
7.7 波の反射と定在波
7.8 反射係数
8.8 理想線路、無ひずみ線路、RC線路 7.9 各種線路
8.8.1 理想線路
a 理想線路
8.8.2 減衰極小条件
b 減衰極小条件と無ひずみ線路
8.8.3 無ひずみ線路
9章分布定数回路としての線路
7.10 複合線路
9.1 複合線路
9.2 無損失線路と反射波、
インピーダンスの測定
9.2.1 伝送式
7.11 無損失線路上での電圧, 電流
9.2.2 電圧、電流の円線図
a 線路の伝送式
9.2.3 定在波比
b 線路上の電圧, 電流の円線図
9.2.4 定在波による負荷の測定
c 定在波比
分布定数回路(伝送線路)とは
電圧(電界)、電流(磁界)は回路
内の位置に依存
TE, TM波
v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)
E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)
立体回路
x, y, z ≥ λ
x
λ
y
z
分布定数回路
λ
d
d≪λ
l≥λ
l
Maxwell方程式を解かなければ
ならない (電磁気学の範疇)
本章で扱う分布定数回路(伝送線路)
電圧、電流は線路上の位置に
依存 v(z, t), i(z, t)
TEM波
集中定数回路
d
x
l
y z
λ
これまでの章で扱ってきた回路
電圧、電流は回路部品内での
位置には依存しない v(t), i(t)
x, y, z, d, l≪λ
波長λ = c/f c: 光速度、f: 周波数
c = 約3×108 m/sなので、
f = 50Hzでは λ = 6,000 km
f = 3GHzでは λ = 10 cm
伝送線路(分布定数回路)
R
L
送電端
受電端
i+Δi
v+Δv
E
i
v
Δx
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m)
C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
i+Δi R Δx
v+Δv
ZL
x
L Δx
C Δx
Δx
微小区間の等価回路
x=0
C
G
i
G Δx v
線路の伝送方程式
伝送路微小区間 Δx の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、
v  Rx(i  i)  Lx{(i  i) / t}
i  Gx  v  Cx(v / t )
従って、 v  R (i  i )  L  (i  i )
x
t
i
v
 Gv  C
x
t
v v
i

 Ri  L
x 0 x
x
t
i i
v
lim

 Gv  C
x 0 x
x
t
lim
伝送の
基礎方程式
v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)
基礎方程式第1式の両辺を x について微分し、第2式と以下の関係式より、
 (i t )
 (i  i ) / t  i t
 (i ) / t
 lim
 lim
x 0
x 0
x
x
x
電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。
 2v
v
 2v
 RGv  ( RC  GL)  LC 2
x 2
t
t
電信方程式あるいは伝送方程式
 2i
i
 2i
 RGi  ( RC  GL)  LC 2
2
電圧(電流)が波動として伝送線路を伝搬
x
t
t
していく様子を表す波動方程式の一種
伝送方程式の定常解
v(t, x), i(t, x)正弦波交流(高周波)の場合を考えると、
v(t , x)  Vx e j t
と表せる
ここで、: 角周波数
j t
i(t , x)  I x e
Vx, Ixは位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない(つまり、変数分離できる)とする
この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない
伝送の基礎方程式に当てはめると、
dVx
 ( R  jL) I x zI x
dx
dI x
 (G  jC )V x yVx
dx
上式より、
d 2Vx
 zyVx
2
dx
d 2Ix
 zyI x
dx2
式(8.8)
ただし、R + jL = z, G + jC = y と置いた
波動方程式を得る
(電信方程式からも直接導出できる)
波動方程式の解
波動方程式の一般解
Vx  V0 e
I x  I 0 e
zy x
zy x
 V0 e 
 I 0 e 
zy x
zy x
V0 , V0 , I 0 , I 0 は積分定数
この一般解を式(8.8)の第2式に代入すると、
I0  V0 / z y , I0  V0 / z y
従って、
Vx  V0 e x  V0 e  x
V0  x V0  x
Ix 
e 
e
Z0
Z0
 , Z0は、伝送線路を特徴づける
ここで、
    j  yz , Z0  z y
 : 伝搬定数
 : 減衰定数単位: ネーパ(Np)
 : 位相定数単位: ラジアン(rad)
ことから、線路の二次定数という
Z0: 特性インピーダンス単位: オーム(W)
これに対して R, G, L, Cは、線路
の一次定数という
波長 λ = 2π /
周期 T =1/f = 2π /
線路の一次定数と二次定数
伝送線路を特徴付けるパラメータには、線路の一次定数と二次定数とがある
一
次
定
数
(実数)
R (W/m)
一次定数と二次定数との関係式
L (H/m)
C (F/m)
    j  (R  jL)(G  jC)
G (S/m)
二
伝搬定数 γ = α + jβ
次
定
減衰定数 (Np) 位相定数 (rad)
数
(複素数) 特性インピーダンス Z0 (W)
Z0 
R  jL
G  jC
波の伝搬
時間依存因子ejt を含む伝送式
Vx e j t  V0 e x e j t  V0 e  x e j t  V0 e x e j ( t   x )  V0 e  x e j ( t   x )
I xe
j t
V0  x j t V0  x j t V0  x j ( t   x ) V0  x j ( t   x )

e e 
e e 
e e

e e
Z0
Z0
Z0
Z0
ej(t±x) は、∓x方向に進む角周波数 , 位相定数  の正弦波を表す
何故なら、ej(t±x) =cos(t±x)+j sin(t±x)

ここで、 ( v p )

x
vp: 位相速度
V0e x は波の振幅を表し、 >0 ( <0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
x
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
d
vg 
d
波の伝搬
Vxe j t  V0e xe j ( t  x)  V0e xe j ( t  x)
−x方向(つまり、送電端から受電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、
α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波
+x方向(つまり、受電端から送電端の方向)に位相速度ω/で進む波(進行波)で、
α >0なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波
送電端
受電端
x
入射波
E
反射波
ZL
Vx  Vx  Vx  (入射電圧波)  (反射電圧波)
I x  I x  I x  (入射電流波)  (反射電流波)

1
1
(Vx  Vx )  {(入射電圧波)  (反射電圧波)}
Z0
Z0

 x

  x
ただし、 Vx  V0 e , Vx  V0 e

x
 x
0
I I e
V0 e x
V0 e  x

  x

, I x  I0 e  
Z0
Z0
Z0 I x  Vx  Vx
線路上での電圧と電流
送電端
受電端
l
Ix
E
I0
Vx
V0 ZL
x
x=0
線路上の任意の点 x での電圧 Vx、電流 Ixは、前頁の式より
Vx  Vx  Vx
Z 0 I x  Vx  Vx
であった。
従って、受電端 x = 0 での電圧 V0、電流 I0は、
1
V0  Z 0 I 0 
V0  Z 0 I 0  2V
V0  V  V
2
従って、



1
V0  Z 0 I 0  2V0
Z 0 I 0  V0  V0
V0  V0  Z 0 I 0 
2
線路上の任意の点 x での電圧と電流を、受電端電圧と電流 V0および I0で表すと、
1
1
Vx  (V0  Z 0 I 0 )e x  (V0  Z 0 I 0 )e  x
2
2
左式で、右辺の第1項は入射波を
1
1
第2項は反射波を表わす
Ix 
(V0  Z 0 I 0 )e x 
(V0  Z 0 I 0 )e  x
2Z 0
2Z 0

0

0

0
V0 
線路の縦続行列
送電端
Ix
E
受電端
l
I0
Vx
x
V0 ZL
E
A
B
C
D
Vx  V0 cosh x  Z 0 I 0 sinh  x
V0
sinh  x  I 0 cosh x
Z0
が得られる
左式に双曲線関数の公式
1
cosh  x  (e x  e  x )
2
を適用すると、
1  x  x
sinh  x  (e  e )
2
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
 Vx  
V0 
    1
 I 
sinh

x
cosh

x
I
 0 
 x Z
 0

従って、特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対するF行列は、
 cosh  l
 A B 

   1
 C D   Z sinh  l
 0
ZL
x=0
線路上の任意の点 x での電圧と電流
1
1
Vx  (V0  Z 0 I 0 )e x  (V0  Z 0 I 0 )e  x
2
2
1
1
Ix 
(V0  Z 0 I 0 )e x 
(V0  Z 0 I 0 )e  x
2Z 0
2Z 0
Ix 
受電端
送電端
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

AD
線路は対称
AD  BC  cosh2  l  sinh2  l  1
線路は相反(可逆)回路
演習問題
8.17
特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 , 長さ l の線路に対応するF行列は、
l
Z0

 cosh  l
 A B 

   1
 C D   Z sinh  l
 0
Z 0 sinh  l 

cosh  l 

AD  BC  cosh2  l  sinh2  l  1
B
 Z 02  Z 0
C
A
B
C
D
(8.26)式 p.170
従って、線路は相反(可逆)
BC
sinh 2  l

 tanh  l
2
AD
cosh  l
受電端を開放(I0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス Zf は、
I0=0
l
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
V0 
1




 I   sinh  x cosh  x  0 
Zf
Z0
V0
 
 x Z
 0

x
x =0
演習問題
よって、 Z f  Vx
Ix

I 0 0
cosh  x
 Z 0 coth x
1
sinh  x
Z0
受電端を短絡(V0 = 0)した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方を見た
入力インピーダンス ZS は、
I0
l
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
 Vx  
 0 
1
   

 I 
ZS
Z0
V0=0
sinh

x
cosh

x
I
 0 
 x Z
 0

x
x =0
よって、 Z S 
Vx
Ix

V0  0
Z S Z f  Z  Z0
2
0
Z 0 sinh  x
 Z 0 tanh x
cosh  x
ZS
 tanh 2  x  tanh  x
Zf
演習問題
受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の方を見た
入力インピーダンス Zin は、
I0
l
Zin
Z0
x

V0
ZL
V0  Z L I 0
x =0
Z 0 sinh  x 
 cosh  x
Vx  
V0 
    1
 

sinh

x
cosh

x
 I 0 
 Ix   Z
 0

よって、
Z0
( Z cosh  x  Z 0 sinh  x)
Vx
Z L cosh x  Z 0 sinh  x sinh  x L
Z in 


Z
I x V Z I
Z L  Z 0 coth x
L
sinh  x  cosh  x
0
L 0
Z0

Z0
cosh x
sinh  x
(Z L  Z 0
)
Z coth x( Z 0 tanh x  Z L ) Z f ( Z S  Z L )
sinh  x
cosh  x
 0

Z L  Z 0 coth x
Z 0 coth x  Z L
Z f  ZL
演習問題
1. 電源電圧 E, 内部インピーダンスが Z0 の電源に、伝搬定数が  ,
特性インピーダンスが Z0, 長さが l の線路が接続されている。これ
に等価な電圧源を求めよ。さらに、線路が無損失なら、それはどの
ように表わせるか? ただし、sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ である。
l
Z0
E
 , Z0
2. 全長400kmの線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見た
インピーダンスの値が j250Ω、また受電端を開放した場合、送電端から
見たアドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊであった。この線路の伝搬定数 γ 、
特性インピーダンス Z0、および1km当たりのリアクタンス X、サセプタンス
B を求めよ。
解) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km

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