磁性を議論する時の基本的な量 H:磁場（外からかける） M:磁化 χ：帯磁率 F MH F: ヘルムホルツの自由エネルギー M  H 1 常磁性体の簡単なモデル：独立な磁気モーメントの場合磁場Hの方向に、gμBm (m=J, J-1, ..., -J)の磁気モーメントが単位体積中にn個ある。異なる磁気モーメントは独立とする。問題１：この系のエネルギーEを書け。問題２：この系の分配関数Zを書け。 1   sinh( J  )a   2 Z   a  sinh  2   n 問題３：磁化Mを求めよ。 a 磁場Hが小さい時の関数形を書け。磁場Hが大きい時はどうなるか？問題４：磁場Hが小さい時、帯磁率χの温度依存性が、 χ=C/Tであることを示せ。 g B H kT 2 1   sinh( J  )a   2 Z   a  sinh  2   解答問題３： n g B H a kT   1  a   F  kT ln Z  nkTln sinh(J  )a   ln sinh  2  2     F 1 1 1 a   ng B ( J  ) coth(J  )a  coth  H 2 2 2 2  磁場が大きい時 xが大きい時、cothx ～1 より、 M  F M   ng B J 温度、磁場によらない一定値 H 磁場が小さい時、coth xを展開する必要がある。 3 相互作用のない系キュリー則 U   H  si C  T i 常磁性体のモデル。相互作用のある系キュリー・ワイスの法則 U  2 J  si  s j ij  分子場近似 C  T  Tc 強磁性体のモデル 4 ポリマーの話１．ポリマーとは。２．ポリマーの広がりを表す指標末端間距離と慣性半径３．スケーリング則 5 高分子とは１つの単位（モノマーを呼ぶ）が繰り返した分子。例：PET ポリエチレンテレフタレートテレフタル酸+ エチレングリコール２価アルコール(OHが２個） COOH H H COOH HO C C OH H H H2Oがとれて重縮合 ... どんどん長くなれる。 6 スケールの概念マクロ -> macroscopic 人間の目で見える程度 PETボトルミクロ microscopic 原子レベル: C, H, O, ... メソ (mesoscopic) 中間の領域。数十nm～μmくらい。原子レベルの情報は消え、分子集団のレベル。（しかしマクロよりは小さい） 7 ポリマーのいろいろな扱い方・格子点の上に載せる、離散的なポリマー・連続的に動けるポリマー排除体積（excluded volume)の考え方。質点の力学では、無限小の大きさだった。現実のポリマーでは、鎖と鎖は互いにすり抜けられない。 8 ポリマーの鎖の広がり具合 r0 鎖の広がり具合を表す量 R  r0  rN  末端間距離 (end-to-end distance) N 1 2 2 2 rN 1 2    r  r  i G N i 0 RG 慣性半径 (gyration radius) rG 重心の座標２つの量はN(モノマー数)が大きい所で、同じN依存性を示す。 R～N  ν：フローリー指数 νの値について考える。スケーリング則 9 フローリー指数 R～N ν  問題１： d次元空間でポリマーがぎっしりつまっていたら、 νはどうなるか？特にd=2や3の場合はどうなるか？問題２：ポリマーがまっすぐ伸びて棒のようになっている時、 νはいくつか？問題３：ランダムな場合、ν～1/2になることを示せ。問題４：モノマーが互いに重なれない場合、 νはどの範囲になるか、不等式で書け。 10 フローリー指数 ν R～N  問題１： N～RdよりR～N1/d。 d=2でR～N0.5、d=3でR～N0.33 問題２：まっすぐな時は、R～N1 問題３：ボンドベクトルの方向が完全にランダムなので、 R 2  r0  rN   (r1  r0 )  (r2  r1 )  ...(rN  rN 1 ) 2  2 N 1 u i 1 i N 1   ui i 1 2 2   ui  u j i j 第２項は理想鎖（完全ランダム）な場合はゼロになる。よって、 R  Nb より、 R～N 2 問題４： 0.5 < ν< 1 2 0.5 11 前回の復習高分子の広がり方は大事。恐牛病は、タンパク質の折れ曲がり方が正しくできなくなる。 R～N  ν：フローリー指数 R N:モノマー数スケーリング則（Nが大きい所での大体の振る舞い） 0.5 < ν< 1 まっすぐに理想鎖伸びた場合（完全ランダム）実在鎖（排除体積を考慮）でどうなるか？ 0.33 < ν ぎっしりつまった場合 12 フローリーの自由エネルギーＦ＝モノマー斥力による反発項（Ｒが大きくなろうとする。）＋エントロピー項 (Rが小さくなろうとする。） 13 モノマー斥力による反発項 Frep～T (T )c V 2 α(T)は排除体積パラメータ V=Rdは系の体積。 cはモノマー濃度。 c～N/Rdにより、 2 N Frep～T  d R モノマー間の反発力により、Rが大きい方が、エネルギーが低くなる。 14 エントロピー項 2 R Frep～T 2 Na ランダムコイルの場合 Rが小さい方が、自由エネルギーが低い。（まっすぐな棒の場合の数は１、小さいＲを指定すると場合の数が大きい。 15 配置の個数の計算問題：N=5の２次元格子上のポリマーに関して、配置が何通りあるか、適当な方法で分類して書け。モノマー間のボンドの長さは一定とする。１つの格子点には、モノマーは１つしか置けないとする。各配置について、Ｒ（末端間距離）を求めよ。 16 エントロピー項の導出 2 R Frep～T Na 2 末端距離Ｒの分布関数  3R 2  P(R)  exp 2 2 Nb    R 2  Nb 2 を導ければ、 S=klogP(R), F=E-TS より出る。 17 ２つの項を合わせると、 N2 R2 F～aT d  bT R N a,bはN, Rに依存しない定数。問題：自由エネルギーF(R)を最小にするＲを求めよ。フローリー指数νをd（次元）の関数として書け。 18 フローリーの議論の結果 3  2d d=1 ν=1 d=2 ν＝3/4 d=3 ν=3/5 シミュレーションの結果もこれに近い。 19