電磁気学C

電磁気学C
Electromagnetics C
7/27講義分
点電荷による電磁波の放射
山田 博仁
点電荷の運動方程式
ここでは、電子のような点電荷によって放射される電磁波のエネルギーを求める。
点電荷 e の電荷密度は、
e ( x, t )  e 3 ( x  z(t ))
 (1)
点電荷
+e
で表される。 ここで、z(t)は、点電荷の軌道関数である。
このとき、電気双極子モーメントは、
p(t )  e  x' 3 ( x'  z (t )) d 3 x'  ez (t )
V
 (2)
で与えられ、従ってその時間微分はそれぞれ、
p (t )  ez(t ),
p(t )  ez(t )
 (3)
これを、先週導出した以下の(37)式に代入する。
P(t ) 
0
p(t0 )2
6c
軌道
z(t)
 (37 )
ラモーアの公式
点電荷から放射される単位時間当たりの電磁波エネルギーは、
0
0 e 2
2
P(t ) 
( p(t0 )) 
(z(t0 ))2
6c
6c
 (4)
で与えられる。 ここで t0 は、
t0  t 
x  z (t0 )
c
の解として決められる点電荷からの発信時刻
 (5)
(4)式より、電磁波は、点電荷が加速された時に放射されることが分かる。
ただし、(4), (5)式が成立するのは、点電荷の速度が光速に比べて十分小さい時
このとき、観測点での時刻 t と点電荷の時刻 t0 とはほぼ同一と見なせるので、
0 e 2
P(t0 ) 
(z(t0 ))2
6c
 (6)
この式は、点電荷の単位加速時間当たりの放射エネルギーを与えると解釈する
ことができる。この式をラモーア(Larmor)の公式という。
点電荷からの放射エネルギー
いま、質量 m, 電荷 +e の点電荷が、
mz(t )  m02 z(t )
 (7)
の運動方程式に従って、角振動数 0 で単振動をしているとする。
(7)式の解は、
z(t ) z 0 sin 0t
 (8)
と書くことができる。 このとき(6)式は、
0 e 2 4 2 2
P(t0 ) 
0 z0 sin (0t0 )
6c
 (9)
となる。そこで、この単振動の1周期 T=2/0 当たりの平均値を求めると、
0e2 4 2 0
P
0 z0 
6c
2

2 / 0
0
sin (0t0 )dt0 
2
e2
12 0c
3
04 z02
を得る。これは、点電荷の単位加速時間当たりの平均放射エネルギー
 (10)
ラザフォード原子模型の寿命
ラザフォードが1911年に提唱した原子模型は、中心に
正電荷をもつ重い原子核があり、その周りを負の電荷
を有する軽い電子が回っているというもの。
電子 -e
原子核
ところが、原子核の周りを回転している電子は、加速度
運動をしているから、それに伴い電磁波が放射される。
すると、回転している電子の運動エネルギーは次第に
減少し、電子は原子核に向かって落ち込んでいくはず。
+e
ラザフォードの水素原子の模型
即ち、古典物理学の法則に従えば、ラザフォードの原子
は不安定で、ある一定の寿命で消滅するはずである。
以下では、古典物理学の法則に基づき、水素原子の寿命を計算してみる。
今簡単のために、電子は陽子とのクーロン力によってのみ引かれて、原子核の
周りを回っているものとする。
ラザフォード原子模型の寿命
このとき、質量 m, 電荷 –e の電子の回転半径を r,
その速さを v, 回転の角速度を  とする。
すると、この電子の動径方向の運動方程式は、
v
電子 -e
m
陽子
2
1 e
mr 2 
4 0 r 2
 (11)

r
+e
また、電子のエネルギー W は、
1 2
1 e2
W  mv 
2
4 0 r
 (12)
ラザフォードの水素原子の模型
で表される。ここで v = r の関係に注意して、(11)式を(12)式に代入すると、
1 e2
W 
8 0 r
を得る。
 (13)
ラザフォード原子模型の寿命
一方、単位時間に電子が放射する電磁波のエネルギーは、(6)式と(11)式より、
 e2

2


(
加速度
)


3
3 
2 
6 0 c
6 0 c  4 0 m r 
e2
e2
2
 (14)
で与えられる。 従って、単位時間当りに電子の失うエネルギーは、
 e2

dW
e





3 
2 
dt 6 0 c  4 0 m r 
2
によって与えられる。
2
 (15)
(15)式の左辺に(13)式を代入すると、
e2 1 dr
2
e6
1



8 0 r 2 dt
3 (4 0c)3 m2 r 4
 (16)
となる。
そこで、はじめの時刻 t = 0 における電子の回転半径が a であったとし、それが原
子核に落ち込んでしまうまでの時間を t とすると、(16)式を積分することにより、
ラザフォード原子模型の寿命
3 2 3
0 dt   4 m c

t
 e2 


 4 0 
2
 0
  r 2 dr
 a
 (17)
を得る。 これから、
1 m2c 3a 3
t
4 (e2 / 4 0 ) 2
 (18)
が得られる。
これに電子の電荷の大きさ e = 1.602×10-19 C, その質量 m = 9.11×10-31 kg お
よび原子半径 a = 5.29×10-11 m の数値を代入すると、およそ
t ~ 1011 s
 (19)
となる。
従って、原子は約10 psという非常に短い時間で潰れてしまうことになり、この矛盾
から、ボーアの原子模型、さらには量子力学が誕生することとなる。