電磁気学C Electromagnetics C 7/27講義分点電荷による電磁波の放射山田博仁点電荷の運動方程式ここでは、電子のような点電荷によって放射される電磁波のエネルギーを求める。点電荷 e の電荷密度は、 e ( x, t )  e 3 ( x  z(t ))  (1) 点電荷 +e で表される。ここで、z(t)は、点電荷の軌道関数である。このとき、電気双極子モーメントは、 p(t )  e  x' 3 ( x'  z (t )) d 3 x'  ez (t ) V  (2) で与えられ、従ってその時間微分はそれぞれ、 p (t )  ez(t ), p(t )  ez(t )  (3) これを、先週導出した以下の(37)式に代入する。 P(t )  0 p(t0 )2 6c 軌道 z(t)  (37 ) ラモーアの公式点電荷から放射される単位時間当たりの電磁波エネルギーは、 0 0 e 2 2 P(t )  ( p(t0 ))  (z(t0 ))2 6c 6c  (4) で与えられる。ここで t0 は、 t0  t  x  z (t0 ) c の解として決められる点電荷からの発信時刻  (5) (4)式より、電磁波は、点電荷が加速された時に放射されることが分かる。ただし、(4), (5)式が成立するのは、点電荷の速度が光速に比べて十分小さい時このとき、観測点での時刻 t と点電荷の時刻 t0 とはほぼ同一と見なせるので、 0 e 2 P(t0 )  (z(t0 ))2 6c  (6) この式は、点電荷の単位加速時間当たりの放射エネルギーを与えると解釈することができる。この式をラモーア(Larmor)の公式という。点電荷からの放射エネルギーいま、質量 m, 電荷 +e の点電荷が、 mz(t )  m02 z(t )  (7) の運動方程式に従って、角振動数 0 で単振動をしているとする。 (7)式の解は、 z(t ) z 0 sin 0t  (8) と書くことができる。このとき(6)式は、 0 e 2 4 2 2 P(t0 )  0 z0 sin (0t0 ) 6c  (9) となる。そこで、この単振動の1周期 T=2/0 当たりの平均値を求めると、 0e2 4 2 0 P 0 z0  6c 2  2 / 0 0 sin (0t0 )dt0  2 e2 12 0c 3 04 z02 を得る。これは、点電荷の単位加速時間当たりの平均放射エネルギー  (10) ラザフォード原子模型の寿命ラザフォードが1911年に提唱した原子模型は、中心に正電荷をもつ重い原子核があり、その周りを負の電荷を有する軽い電子が回っているというもの。電子 -e 原子核ところが、原子核の周りを回転している電子は、加速度運動をしているから、それに伴い電磁波が放射される。すると、回転している電子の運動エネルギーは次第に減少し、電子は原子核に向かって落ち込んでいくはず。 +e ラザフォードの水素原子の模型即ち、古典物理学の法則に従えば、ラザフォードの原子は不安定で、ある一定の寿命で消滅するはずである。以下では、古典物理学の法則に基づき、水素原子の寿命を計算してみる。今簡単のために、電子は陽子とのクーロン力によってのみ引かれて、原子核の周りを回っているものとする。ラザフォード原子模型の寿命このとき、質量 m, 電荷 –e の電子の回転半径を r, その速さを v, 回転の角速度を  とする。すると、この電子の動径方向の運動方程式は、 v 電子 -e m 陽子 2 1 e mr 2  4 0 r 2  (11)  r +e また、電子のエネルギー W は、 1 2 1 e2 W  mv  2 4 0 r  (12) ラザフォードの水素原子の模型で表される。ここで v = r の関係に注意して、(11)式を(12)式に代入すると、 1 e2 W  8 0 r を得る。  (13) ラザフォード原子模型の寿命一方、単位時間に電子が放射する電磁波のエネルギーは、(6)式と(11)式より、  e2  2   ( 加速度 )   3 3  2  6 0 c 6 0 c  4 0 m r  e2 e2 2  (14) で与えられる。従って、単位時間当りに電子の失うエネルギーは、  e2  dW e      3  2  dt 6 0 c  4 0 m r  2 によって与えられる。 2  (15) (15)式の左辺に(13)式を代入すると、 e2 1 dr 2 e6 1    8 0 r 2 dt 3 (4 0c)3 m2 r 4  (16) となる。そこで、はじめの時刻 t = 0 における電子の回転半径が a であったとし、それが原子核に落ち込んでしまうまでの時間を t とすると、(16)式を積分することにより、ラザフォード原子模型の寿命 3 2 3 0 dt   4 m c  t  e2     4 0  2  0   r 2 dr  a  (17) を得る。これから、 1 m2c 3a 3 t 4 (e2 / 4 0 ) 2  (18) が得られる。これに電子の電荷の大きさ e = 1.602×10-19 C, その質量 m = 9.11×10-31 kg および原子半径 a = 5.29×10-11 m の数値を代入すると、およそ t ~ 1011 s  (19) となる。従って、原子は約10 psという非常に短い時間で潰れてしまうことになり、この矛盾から、ボーアの原子模型、さらには量子力学が誕生することとなる。