耐震構造第10回

耐震構造第10回
【１】固有モードの性質
22
m2
y2
k2
m1
y1
k1
21
11
12
 
φ1   11 
21 
１次モード：固有円振動数
 
φ 2   12 
22 
1
２次モード：固有円振動数
2
質量マトリクスをM，剛性マトリクスをKとすると，以下の式(1)，(2)の関係が成り立つ
（固有モードの直交性）
質量マトリクスMに関して：
(1)
剛性マトリクスKに関して：
(2)
以下に，式(1)，(2)の証明を示す．前回の資料より，M, Kと固有円振動数
トル φ1 , φ 2 の関係は式(3)，(4)で表される．
1,
2，固有ベク
(3)
(4)
T
T
式(3)の両辺の左側より φ 2 を掛けたものを式(5)，式(4)の両辺の左側より φ1 を掛けたもの
を式(6)とする．
(5)
(6)
MとKが対称マトリクスであるので，式(7)，(8)の関係が成り立つ．
(7)
(8)
式(5)から式(6)を引き，式(7)，(8)を考慮すると，式(9)を得る．
(9)
式(9)において， 1 ≠ 2であるので式(1)が得られる．加えて，式(3)，(4)に式(1)を考慮す
ると式(2)が得られる．（証明終わり）
なお，この性質は，一般の多自由度系においても成立する重要な性質である．
【2】２質点２自由度系の非減衰自由振動
非減衰自由振動の運動方程式：
(10)
式(10)の解を式(11)の形におく．ここで，q1(t), q2(t)：１次モードと２次モードの一般化変位
(11)
式(11)を式(10)に代入する．
(12)
T
式(12)の両辺の左側より φ1 をかける．
(13)
ここで，各モードの広義質量Mi，広義剛性Ki（i = 1, 2）をそれぞれ式(14)で定義する．
(14)
ここで，式(1), (2)と式(14)を考慮すると，１次モードに関する独立な運動方程式（式(15)）
を得る．
(15)
同様にして，２次モードに関する独立な運動方程式（式(16)）を得る．
(16)
式(15), 式(16)の一般解を考えることとする．各モードの固有円振動数 iは，広義質量Mi，
広義剛性Kiと式(17)で対応づけられる．
(17)
これより，式(15)と式(16)の一般解は式(18)，(19)のように得られる．
(18)
(19)
これを式(11)に代入することで，式(10)の一般解が式(20)で表されることがわかる．
(20)
以上のように，２質点２自由度系の非減衰自由振動は，各モードに関する独立な運動方程
式（式(15)，式(16)）を解き，その解を重ね合わせることで得られることがわかる．
【３】減衰マトリクスの扱い（比例減衰）
せん断型モデル（俗に，串団子モデル）
m1, m2：各階質量， c1, c2：各層減衰係数， k1, k2：各層剛性
m2
y2
質量マトリクスMと剛性マトリクスK：
c2, k2
m1
c1, k1
(21)
y1
減衰マトリクスC：
(22)
減衰自由振動の運動方程式：
(23)
式(23)の解を式(24)の形におく．
(24)
式(24)を式(23)に代入して整理する．
(25)
式(25)が時刻tに関わらず成立する条件は式(26)で表される．
(26)
式(26)で表される固有値問題では，非減衰自由振動と比べて非常に複雑な形となる．こ
れは，減衰マトリクスCがM，Kと無関係であるためである．そこで，特別な場合として，C
が式(27)で表される場合を考える．
(27)
このとき，式(26)は式(28)の形に書き換えることができる．
(28)
式(28)より，減衰マトリクスCが式(27)で表される場合には，減衰自由振動の固有値・固有モー
ドが非減衰自由振動と同様に得られることがわかる．そこで，以下ではCが式(28)で表される
ものとして考える．このとき，Cに関しても式(1)，(2)と同様の関係（固有モードの直交性）が成
り立つ．
(29)
【４】固有モードに関する例題
m2
k2
前回例題と同じ諸元：
m1 = m2 = 100t, k1 = 1.50x105kN/m, k2 = 1.00x105kN/m
質量マトリクス：
m1
k1
剛性マトリクス：
前回例題の結果より，固有円振動数：
固有モードベクトル：
φ1T Mφ 2
質量マトリクスについて固有モードの直交性の確認：　を計算
φ1T Kφ 2
剛性マトリクスについて固有モードの直交性の確認：　を計算
広義質量Miの計算：１次モードについて
広義剛性Kiの計算：１次モードについて
広義質量Miと広義剛性Kiから固有円振動数 iを計算：１次モードについて

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