電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 8/11講義分点電荷による電磁波の放射山田博仁指向性アンテナある特定の方向にのみ強く電波を放射(特定の方向のみから電波を受信) することができるアンテナを指向性アンテナ(Beam Antenna)と言う指向性アンテナの種類八木・宇田アンテナパラボラアンテナキュービカルクワッドアンテナ八木・宇田アンテナの構造導波器放射器 λ/2 この方向に強く電波が放射される約λ/4 素子 (エレメント) 放射器は、ダイポールアンテナと同じもので、半波長(λ/2) の長さ導波器は、放射器よりもやや短い反射器は、放射器よりもやや長い反射器約λ/4 約λ/4 八木・宇田アンテナの原理放射器放射器のみのときは、素子に垂直方向に均等に電波が放射される八木・宇田アンテナの原理放射器からの電波と導波器からの電波の位相が逆で弱め合う放射器からの電波と導波器からの電波の位相が等しく強め合う導波器放射器 λ/4 放射器からの電波導波器からの電波導波器には、放射器に対して π /2 だけ位相が遅れて給電されている放射器から λ/4 離れた位置に導波器がある場合は、導波器のある方向に強く電波が放射され、その反対方向への電波の放射が弱められる八木・宇田アンテナの原理放射器からの電波と反射器からの電波の位相が逆で弱め合う放射器からの電波と反射器からの電波の位相が等しく強め合う反射器放射器 λ/4 放射器からの電波反射器からの電波反射器には、放射器に対して π /2 だけ位相が進んで給電されている放射器から λ/4 離れた位置に反射器がある場合は、反射器のある方向への電波の放射が弱められ、それと反対方向への電波の放射が強められる八木・宇田アンテナの原理実際の八木・宇田アンテナでは、導波器には給電せず、放射器からの電波を受けて、導波器自らも電波の放射を始める。このとき、放射器よりも僅かに短くしておくと、放射器よりも位相が約 π /2 遅れた電波を放射するようになる。導波器放射器約λ/4 実際の八木・宇田アンテナでは、反射器には給電せず、放射器からの電波を受けて、反射器自らも電波の放射を始める。このとき、放射器よりも僅かに長くしておくと、放射器よりも位相が約 π /2 進んだ電波を放射するようになる。放射器反射器約λ/4 八木・宇田アンテナの原理導波器放射器反射器この方向に電波が強く放射されるこの方向への電波の放射が弱められる約λ/4 約λ/4 3素子八木・宇田アンテナ点電荷の運動方程式ここでは、電子のような点電荷の運動によって放射される電磁波のエネルギーを求める。点電荷 e の電荷密度は、 e ( x, t )  e 3 ( x  z(t ))  (1) 点電荷 +e で表される。ここで、z(t)は、点電荷の軌道関数である。このとき、電気双極子モーメントは、 p(t )  e  x' 3 ( x'  z (t )) d 3 x'  ez (t ) V  (2) で与えられ、従ってその時間微分はそれぞれ、 p (t )  ez(t ), p(t )  ez(t )  (3) これを、先週導出した以下の式(37) に代入する。 P(t )  0 p(t0 )2 6c 軌道 z(t)  (37 ) ラモーアの公式点電荷から放射される単位時間当たりの電磁波エネルギーは、 0 0 e 2 2 P(t )  ( p(t0 ))  (z(t0 ))2 6c 6c  (4) で与えられる。ここで t0 は、 t0  t  x  z (t0 ) c の解として決められる点電荷からの発信時刻  (5) 式(4) より、電磁波は、点電荷が加速された時に放射されることが分かる。ただし、式(4), (5) が成立するのは、点電荷の速度が光速度に比べて十分小さい時である。このときまた、観測点での時間と点電荷のある場所での時間はほぼ同一に扱えるので、 0 e 2 P(t0 )  (z(t0 ))2 6c  (6) この式は、点電荷の単位加速時間当たりの放射エネルギーを与えると解釈することができる。この式をラモーア(Larmor)の公式という。点電荷からの放射エネルギーいま、質量 m, 電荷 +e の点電荷が、 mz(t )  m02 z(t )  (7) の運動方程式に従って、角振動数 ω0 で単振動をしているとする。式(7) の解は、 z(t )  z 0 sin 0t  (8) と書くことができる。このとき式(6) は、 0 e 2 4 2 2 P(t0 )  0 z0 sin (0t0 ) 6c  (9) となる。そこで、この単振動の1周期 T = 2π /ω0 当たりの平均値を求めると、 0e2 4 2 0 P 0 z0  6c 2  2 / 0 0 sin (0t0 )dt0  2 e2 12 0c 3 04 z02 を得る。これは、点電荷の単位加速時間当たりの平均放射エネルギー  (10) ラザフォード原子模型の寿命ラザフォードが1911年に提唱した原子模型は、中心に正電荷をもつ重い原子核があり、その周りを負の電荷を有する軽い電子が回っているというもの。電子 -e 原子核ところが、原子核の周りを回転している電子は、加速度運動をしているから、それに伴い電磁波が放射される。すると、回転している電子の運動エネルギーは次第に減少し、電子は原子核に向かって落ち込んでいくはず。 +e ラザフォードの水素原子の模型即ち、古典物理学の法則に従えば、ラザフォードの原子は不安定で、ある一定の寿命で消滅するはずである。以下では、古典物理学の法則に基づき、水素原子の寿命を計算してみる。今簡単のために、電子は陽子とのクーロン力によってのみ引かれて、原子核の周りを回っているものとする。ラザフォード原子模型の寿命このとき、質量 m, 電荷 –e の電子の回転半径を r, その速さを v, 回転の角速度を ω とする。すると、この電子の動径方向の運動方程式は、 v ω 電子 -e m 陽子 2 1 e mr 2  4 0 r 2  (11) r +e また、電子のエネルギー W は、 1 2 1 e2 W  mv  2 4 0 r  (12) ラザフォードの水素原子の模型で表される。ここで v = rω の関係に注意して、式(11) を式(12) に代入すると、 1 e2 W  8 0 r を得る。  (13) ラザフォード原子模型の寿命一方、単位時間に電子が放射する電磁波のエネルギーは、式(6) と式(11) より、  e2  2   ( 加速度 )   3 3  2  6 0 c 6 0 c  4 0 m r  e2 e2 2  (14) で与えられる。従って、単位時間当りに電子の失うエネルギーは、  e2  dW e      3  2  dt 6 0 c  4 0 m r  2 によって与えられる。 2  (15) 式(15) の左辺に式(13) を代入すると、 e2 1 dr 2 e6 1    8 0 r 2 dt 3 (4 0c)3 m2 r 4  (16) となる。そこで、はじめの時刻 t = 0 における電子の回転半径が a であったとし、それが原子核に落ち込んでしまうまでの時間を  とすると、式(16) を積分することにより、ラザフォード原子模型の寿命 3 2 3 0 dt   4 m c    e2     4 0  2  0   r 2 dr  a  (17) を得る。これから、 1 m2c 3a 3  4 (e2 / 4 0 ) 2  (18) が得られる。これに電子の電荷の大きさ e = 1.602×10-19 C, その質量 m = 9.11×10-31 kg および原子半径 a = 5.29×10-11 m の数値を代入すると、およそ  ~ 1011 s  (19) となる。従って、原子は約10 psという非常に短い時間で潰れてしまうことになり、この矛盾から、ボーアの原子模型、さらには量子力学が誕生することとなる。ラザフォード原子模型の寿命式(11)から電子の回転角速度ωを見積もってみると、 e   4.141016 rad 2 0 mr3  (20) 従って、電子の回転運動によって放射される電磁波の周波数 f は、  e f    6.581015 Hz  (21) 3 3 2 4   0 mr これは電磁波の波長で言うと紫外線の領域となり、 c    45.6nm f 電子の回転速度 vは、 e v  r   2.19106 m/s 2  0 mr  (22)  (23) 量子力学によると、電磁波のエネルギー量子(光子)の大きさは hf (hはプランク定数)であり、 he hf   4.361018 J  (24) 電子は光子エネルギーの単位でしか 4  3 0 mr3 電磁波を放出することができない。 1 これは電子の運動エネルギー mv 2  2.18 10 18 J  よりも大きな値である。 2 従って、原子は電磁波を放射できない。 →原子は潰れることなく安定に存在できる。ご聴講ありがとうございました