自然対数

-4
-2
0
2
4
自然対数
0
1
3
2
4
5
x
ln(x)
line with slope=1
1
自然対数（続き）
• log(x)の差は、近似的に変化率になる。
ln( X1 )  ln( X 0 ) ( X1  X 0 ) / X 0  X / X
• このことは、log(x) の (1,0)における接線の傾
きが 1となり、したがって、
log(1  x )
x.
であることから理解できる。
2
効用最大化（内点解のケース）
予算制約
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効用最大化の条件（１）
• 限界代替率と価格比率が一致する。
• 限界代替率の定義を用いて
X 2 U / X 1 p1
MRS  


X1 U / X 2 p2
• 上記の条件は、支出１円あたりの限界効用が財
１と財２の間で均等化することを示す（練習問
題：なぜそれが最適なのか？）
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効用最大化の条件（２）
• また、予算制約の傾きは、市場の交換比率で
あり、客観的交換比率といえる。
• 限界代替率は主観的交換比率であったので、
効用最大化の条件は、客観的交換比率と主
観的交換比率が等しくなるところに消費量を
設定することになる。
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効用最大化の条件（３）
• ここでは、最適解が予算制約の端点にこない、
内点解のケースを考察。本講義の大半の議
論はこの場合。
• 最適解が端点で達成されるケースもある（典
型例：労働供給）。
• この場合は、限界代替率＝価格比率の条件
は等号では成り立たない。
• １０３万円の壁のようなケースも、等号で成り
立たない。
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比較静学
• 外生変数の内生変数に対する影響を評価
• 外生変数は所得（ I ）と価格（ p j , j  1,2 ）
• 所得変化の効果：
X j
I
• 価格変化の効果： X j
 pk
• 内点解を仮定
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所得効果
X1
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需要の所得弾力性
• 所得変化の効果：
X j
I
• これを弾力性にしてあらわす：
I 
X j / X j
I / I
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所得効果の値による財の区分
• 正常財：所得が上昇すると消費量が増加する
財
• 下級財：所得が上昇すると消費量が減少する
財
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価格変化の効果
代替効果
X1
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価格変化の効果：スルツキー方程式
• 財i価格の変化の効果を所得効果と代替効果に
分解
x j
pi
x j
 pi
I
pi
 xi
U
x j
I
所得を一定として pi が変化したときの効果
I
x j
pi

x j
U
効用を一定として pi が変化したときの効果
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