スライド 1

無差別曲線
C
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無差別曲線の性質
• 右下がり
• 2本の無差別曲線は交わらない
• 右上方に位置する無差別曲線のほうが、効
用の値が高い。
• 原点に対して凸
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限界代替率
• 無差別曲線の傾きを限界代替率と呼ぶ。
• 限界代替率は、消費者の主観的な、2財の交
換比率である：同じ効用水準を維持するため
に交換してもよい（＝等価である）と考える比
率。
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限界代替率の計算（１）
• 以下の効用関数の限界代替率を計算する
U   ln(l )  (1 ) ln(C )
• 【一般的に成り立つ性質】
U0
– ある効用の水準 U で全微分をして、その結果
をゼロと置く：
U
U
l 
C  0
l
C
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限界代替率の計算（２）
• 全微分した式を変形して
C U / l
MRSlC  

l U / C
• 具体的な効用関数について限界代替率を計
U / と
C
算するためには、上記の式の
U / l に、具体的な効用関数から計算され
た微係数を代入する。
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上記の効用関数の場合
U 

l
l
U 1  

C
C
となるので、代入して整理すると
C
 C



l 1   l
となる。
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限界代替率と効用関数のパラメー
ターβの関係：練習問題
• 上記の効用関数のパラメーターβは、限界代
替率の大きさにどのような影響を与えるか？
他の条件を一定として、βの値が大きいと限
界代替率は大きくなるか、小さくなるか？
• そのことは、βの値が労働供給とどのような関
係にあることを意味するか？
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【補足】自然対数の微分
) に関する微係数は
• 自然対数 ln( Xの
X
 ln( X ) 1

X
X
である。ただし、
X ．0
このことは、自然対数は指数関数の逆関数であり、
指数関数の微係数はもとの関数そのものになること
 exp( X )
から理解できる（
）。 X  exp( X )
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労働供給
C
• 予算制約に加えて、時
間制約があることに注
意（ l  T ）。 l は余
暇時間、 T は時間の
総量。
• 予算制約の傾きは賃金
率
C  w(T  L)  I
• C: 消費財の消費量
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労働供給
C
• 予算制約の傾きは賃金
率
PC  w(T  l )  I
T
• C: 消費財の消費量
• I: 非労働所得
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無業の選択
C
•
l  T が最適点で成立
している場合が、無業
が選択されるケース。
• この場合、
MRS ( I , T )  w / P
となり、限界代替率と予
算制約の傾きは一致しな
い（なぜか？不等号の向
きにも注意）。
l
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労働供給とスルツキー方程式
• 単純化のため、P=1という基準化を行なう（こ
れによって一般性は失われない）。
• スルツキー方程式は、以下のように表される
l
l
l

 (T  l )
w I w U
I
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労働供給とスルツキー方程式
• 賃金変化の効果
l
l
l

 (T  l )
w I w U
I
•
l
w U
代替効果：賃金が上昇すると余暇の消
費量を減らす
• (T  l ) l
I
所得効果：賃金上昇は実質所得の上昇
を意味し、余暇が正常財であれば余暇
の消費量を増加させる。
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消費者の支出最小化
• 複数の財を消費する消費者を想定。
min E( p1 , p2 ; u )  p1 x1  p2 x2
x1 , x2
subject to U ( x1, x2 )  u
支出関数
E( p1, p2 ; u)
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補償需要関数
• 支出関数の導出においては、x1,x2が内生変
数である。
• これらのx1,x2を需要量とする、需要関数を導
くことができる。この需要関数を補償需要関
C
x
数とよぶ。i ( p1, p2 ; u) と表記（Cは
compensatedに対応）。
• この需要関数は、費用関数における要素需
要関数と同じであることに注意。
シェパードの補題
• 補償需要関数について、以下が成り立つ：
E ( p1, p2 ; u )
C
 xi ( p1, p2 ; u)
pi
i  1, 2
シェパードの補題の考え方（１）
• 支出関数とは以下である：
E( p1, p2 ; u)  p1x1C ( p1, p2 ; u)  p2 x2C ( p1, p2 ; u)
• この左辺の変化分を、  E と書く。
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シェパードの補題の考え方（２）
• いま、 p1 のみが変化すると考える。このとき、
支出額の変化は
E  p1x1  p1 x1  p2x2
= p1x1  p2x2  p1 x1
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シェパードの補題の考え方（３）
• ここで、以下が成り立つ：
p1x1  p2x2  0
• 効用が一定水準に保たれていることから、
x1, x2 は無差別曲線に沿って動いている
ことに着目する。
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シェパードの補題の考え方（４）
• 【復習】支出最小化の条件とは、限界代替率と価
格比率が一致すること。
• 限界代替率の定義を用いて、この条件は以下の
ようになる。
x2 U / x1 p1
MRS  


x1 U / x2 p2
•
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シェパードの補題の考え方（５）
• 無差別曲線に沿って動くとは、 x1, x2
が以下を満たすことを意味する：
x2 U / x1
MRS  

x1 U / x2
• しかし一方で、最適解の条件とは：
x2 U / x1 p1
MRS  


x1 U / x2 p2
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支出最小化
等支出曲線
傾きの絶対
値：p1/p2
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シェパードの補題の考え方（６）
• 支出関数は、費用最小化の最適点での支出
である。最適解の条件を変形すると：
p1x1  p2x2  0
• これを代入して：
E  p1x1  p1 x1  p2x2
= p1 x1
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シェパードの補題の考え方（７）
• 以上から、一般性を失うことなく
E E ( p1, p2 ; u)
x ( p1, p2 ; u) 

pi
pi
C
i
i  1, 2
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スルツキー方程式
• 財i価格の変化の効果を所得効果と代替効果に
分解
x j
pi
x j
 pi
I
pi
 xi
U
x j
I
所得を一定として pi が変化したときの効果
I
x j
pi

x j
U
効用を一定として pi が変化したときの効果
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スルツキー方程式
•
•
x j
pi
：代替効果
U
 xi
x j
I
：所得効果。最初の部分に
 xi
が
かかっていることと、シェパードの
補題との関連に注意。
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補償需要曲線と通常の需要曲線
• 補償需要曲線は、効用を一定にしている需要
曲線（ヒックスの需要曲線とも呼ばれる）
• 通常の需要曲線は、所得を一定にしている需
要曲線（マーシャルの需要曲線とも呼ばれる
）
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補償需要曲線と所得一定の需要曲線
P1
補償需要曲線１
（U=u1）
p10
p11
代替効果
所得効果
所得一定の需要曲線
補償需要曲線0
（U=u0）
x1
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スルツキー方程式と支出関数
• 以下の等式が成立することに着目：
xi ( p1, p2 ; E( p1, p2u))  xiC ( p1, p2 ; u)
• 上記を p1 で微分し、所得効果の項を移項す
ると、スルツキー方程式を得る：
x j

 C
xi ( p1, p2 ; I ) 
xi ( p1, p2 ; u )  x1 
p1
p1
I
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参考図書
• シェパードの補題、支出関数、については、
以下の本に明快な説明がある：
• Dixit, Avinash Optimization in Economic
Theory, 2nd Edition, Oxford University
Press, 1990, Chapter 5 （邦語訳もあり）
• 等価変分・補償変分については：西村和雄『ミ
クロ経済学』東洋経済 1990年第3章、第4
章
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