第10回 - 国立大学法人小樽商科大学

統計学
第1１回
西山
検定のまとめ
検定とは二択問題です．つまり二つの命題のど
ちらかをデータをみて選びます．
正しいと仮定する命題を帰無仮説（H0)と呼び、
もう一方の命題を対立仮説（H1)と呼びます．
要するに、標準値（Z値）やT値の使い方です．
ありえないと思うT値（あるいはZ値）を棄却域に
します．棄却域の大きさを有意水準といいます．
検定の手順
1. 帰無仮説を前提します。
2. データの平均値が異常なら帰無仮説を棄却し
ます。対立仮説をとります。⇒結果異常
3. データの平均値が正常なら帰無仮説は否定で
きません。⇒結果正常
4. 異常・正常の判定は標準値かT値で下します。
5. 異常値の範囲は確率５％とするのが習慣です。
これを有意水準と呼びます。
例題【１】（第９回の例題２）
下に５個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０より大きい平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の分散σ2は１である．
1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63
ヒント：
標本平均＝0.58
分散推定＝0.171
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　正常
異常
解答のポイント
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　標準値を出すところまでは同じ
Z0 
X  0
2 /n

0.58  0
 1.30
1 / 5 検定のポイントは
棄却域をどこに作るかです
棄却域の大きさ、つまり
５％ですが、これを有意
水準といいます
例題【１‘】
下に５個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０より大きい平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の分散σ2は１である．
1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63
ヒント：
標本平均＝0.58
分散推定＝0.171
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　正常
異常
解答【１‘】
T値を使え！
T0 
X  0
ˆ / n
2

0.58  0
0.171/ 5
 3.14
T値＞2.132になるので帰無
仮説は棄却！
練習問題【１】
下に7個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０とは異なる平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の分散σ2は１である．
-1.11, 2.09, 0.11, 1.21, 1.91, 0.02, -0.24
ヒント：
標本平均＝0.57
分散推定＝1.418
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　練習問題【１】の解答
T0 
X  0
2
ˆ
 /n

0.57  0
1.418 / 7
棄却できず
１限目、解答まで
終わり。なぜ棄却
域を両側に？
 1.27
例題【２】
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検査をする．
60Km/hからの停止距離の基準は60メートルになっている．
ところが、いま工場内に異常があり、停止距離が平均で2
メートルも基準値を超えている。有意水準５％の普通の品
質検査をして、この異常に気がつくだろうか？但し、ブレー
キを踏むタイミングなどから、停止距離の測定値は2メート
ルの標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
正常
異常
教科書176ページ以降を参照
例題【２】の考え方
この限界値は
61.47です．なぜ？
判断ミスに二通りあり
必要のない検査をした
意味では生産者危険
欠陥車に気が
つかないので
消費者危険
検査結果
正常
真
相
異常
第1種の
正常(H0) あいまい過誤（α）
異常(H1)
第2種の
過誤（β）
検出
例題【２】の解答
第2種の過誤（β）
 PX  61.47 | H 1 
61.47  62 

 P Z 

0.894 

 PZ   0.56
 0.29
10回に3回は異常に
気がつかない！
検出力＝1-0.29＝0.71
練習問題【２】
X  61.32
ˆ 2  2.85
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検査をす
る．60Km/hからの停止距離の基準は60メートルになって
いる．5回の測定値の結果は
59.3、 59.6、 62.7、 62.7、 62.3
となった。以下の検定を行いなさい。但し、ブレーキを踏
むタイミングなどから、停止距離の測定値は2メートルの
標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
正常
異常
練習問題【２】の解答
異常なしと仮定して
Z0 
61.32  60.0
2
2
5
1.32

 1.48
0.894
限界値1.645を超えていないので、結果正常
検出漏れの確率は３０％
練習問題【３】
無作為に20台の自動車を抜き取りブレーキ性能検査をする．
60Km/hからの停止距離の基準は60メートルになっている．
停止距離が平均で2メートルも基準値を超えているなら、直
ちに工場を停めて原因を探る調べる必要がある．限界値を
いくらに設定して検査をすればよいか．但し、ブレーキを踏
むタイミングなどから、停止距離の測定値は2メートルの標
準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
練習問題【３】の考え方
① 帰無仮説（μ＝60）を正しいとして、データの平均値の分布図を描き
ます．中心とばらつきを書き入れます．⇒異常な範囲の定義
② 限界値を決めて、棄却域を確かめます．
③ 対立仮説（μ＝62）が正しいときにデータの平均が棄却域に入ってく
れない確率が答え．⇒異常あるときに結果異常となる確率？
練習問題【３】の解答
22
限界値  60  1.645 
 60.74
20

 P X  60.74 | H 1 

60.74  62 
 P Z 

4 / 20 

 P Z  2.82
 0.0024
１から引くと
検出力は
0.998

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