モジュール1のまとめ

数理統計学
第２４回
西山
検定の手順
帰無仮説・対立仮説として二択にする
サンプル平均の分布図で
棄却域（普通5%分）を両側・右側・左側に作るか決める
上に合わせて標準値・T値の
限界値を決める
サンプル平均を標準化して
結論を下す
今日の目標（前回の続き）
検出力について復習します
–第1種の過誤（Error of Type I）
–第2種の過誤（Error of Type II）
–検出力（＝異常を発見できる確率）
検出力曲線：
検出力を上がるのはどんな時
最初の例題
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検
査をする．60Km/hからの停止距離の基準は60メー
トルである．
いま工場内に異常があり、停止距離が平均で2
メートルも基準値を超えている。ブレーキ検査をし
て、この異常に気がつくだろうか？但し、ブレーキを
踏むタイミングなどから、停止距離の測定値は2メー
トルの標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
正常
異常
教科書176ページ以降を参照
最初の例題への解答
第2種の過誤（β）
 PX  61.47 | H 1 
61.47  62 

 P Z 

0.894 

 PZ   0.56
 0.29
10回に3回は異常に
気がつかない！
検出力＝1-0.29＝0.71
前の授業は
ここまで
練習問題【１】
無作為に20台の自動車を抜き取りブレーキ性能検査をす
る．60Km/hからの停止距離の基準は60メートルになって
いる．停止距離が平均で2メートルも基準値を超えているな
ら、直ちに工場を停めて原因を探る調べる必要がある．限
界値をいくらに設定して検査をすればよいか？また検出力
はいくらか？但し、ブレーキを踏むタイミングなどから、停止
距離の測定値は2メートルの標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
正常
異常
練習問題【１】の解答
22
限界値  60  1.645 
 60.74
20

 P X  60.74 | H 1 

60.74  62 
 P Z 

4 / 20 

 PZ  2.82
１から引いて
検出力は99.8%
 0.0024
練習問題【２】
統計学の試験のあと、5人の学生をランダム
にとって得点を調べると、
78、 61、 96、 83、 52
だった．履修者全体の平均（＝母平均μ）は
60点を超えていると判断していいか．但し、
得点分布の標準偏差は毎年20点前後で安
定している．今回も20とする．
サンプルの結果：
平均＝74、不偏分散＝308.5
教科書173ページ、
練習問題
練習問題【２】の解答（その１）
平均60とすると
元の集団の分散
がわかりますか
ら標準値が得ら
れます．
74  60
Z0 
 1.57
8.94
帰無仮説は棄却
できない
限界値
1.645
練習問題【２】の解答（その２）
データ数は5個だから
T値一筋でやるのも
一法です．完璧！
５％
母平均を60点として
T0 
74  60
308 .5 / 5
 1.78
平均60点を否定できない
限界値
2.132
【補足】検定問題としては
正確に二択を書くと
H0 :   60 vs H1 :   60
とはいえ、55を否定したところで、意味なし
H0 :   55 vs H1 :   60
60点を否定できたら、60点超えといわざるを得ない！
H0 :   60 vs H1 :   60
検出力を確認します
統計学の試験のあと5人の学生をランダムにとって得点を調
べると、
78、 61、 96、 83、 52
だった．履修者全体の平均（＝母平均μ）は60点を超えてい
ると判断していいか．但し、得点分布の標準偏差は毎年20
点前後で安定している．今回も20としよう．
サンプル5人の検出力を求めなさい．但し、全体の平均（＝
母平均）は65点に上がっているとして計算しなさい．
サンプルの結果：
平均＝74、分散推定＝308.5
授業はここまで。以下は参考。
類題を期末試験に出題予定。
検出力を求める考え方
全体平均が65点のとき、5人の得点から
『平均は60点でなく65点だな』と分かるかど
うか、ということ．
1. そもそも限界値をいくらにしますか？
2. 全体平均が65点のとき、サンプル平均が限界値を
超える確率はいくらですか？
検出力の計算
検出力1   
 P X  74.7 | 母平均  65
 X  65 74.7  65 

 P

8.94 
 8.94
 PZ  1.09
 0.13786
検出力はたった
14％
練習問題【３】
統計学の試験のあと5人の学生をランダムにとって履修者全
体の平均（＝母平均μ）が60点を超えているかどうか判断し
たい．但し、得点分布の標準偏差は毎年20点前後で安定し
ている．今回も20とする.
上の検定における（５人）検出力を求めなさい．但し、対立仮
説は平均＝８０点としなさい。
サンプル結果：
平均＝74、分散推定＝308.5
さすがに８０点まで
上がっていれば、
気がつくでしょう！
８０点に上がっていたらわかるはず
限界値＝７４．７点
検出力
７２％
応用問題： 65点だとわかるか？
６５点の場合、検出力が１４％しかなかった。調べ
る人数を増やして、検出力を最低でも50%まで
上げたい。何人の答案を調べればよいか。
全体平均が65点になっているとき、『平均
は60点でなく65点だな』と何人調べれば、か
なり確実にわかるか？
ヒント：σ2＝400
（×人）
考え方を図で示す
標準誤差の
理解が鍵
検出力５０％状況
応用問題の解答
400
60  1.645
 65
N
N=43.29
44人以上を調べれば
検出力は５０％を超える
検出力を上げるには
72%
80
有意水準＝5%
教科書：１８３頁

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