ヒント

統計学
第９回
西山
第８回目のまとめ
標準値とT値との区別
Z
X 
2 /n
T
X 
ˆ 2 / n
T値の確率法則＝T分布
自由度＝データ数－１
T分布の数値表の使い方
教科書：156～158ページ
再掲：練習問題【２‘】
ある大学の学生を対象に10名をランダムにと
り身長のデータをとると結果は
X  167.2
ˆ 2  10 2  100
2限目ここから
回答は登録
済み
全学生の平均はいくら位か９０％信頼区間を
求めなさい．元の分散は100にしましょう．
【２‘】の解答―はじめが大事です
0.90
0.90
 P 1.833  T  1.833T値を使うときは自由度
 P－①  T  ① 
がいくらになるかが鍵！


X



 P 1.833 
 1.833

2
X 
ˆ / n 


 P－① 
 ①
2 

ˆ 2 ˆ 2 
ˆ


   X  1.833 
 P X  1.833 

n n 


n


 あとはデータの結果を代入して同じように・
・・

100
100 

 P167.2  1.833 
   167.2  1.833 

10
10


 P161.4    173.0
再掲：練習問題【３】
正規母集団から無作為にとった5個のデータ
１７１、１７９、１６４、１７４、１７０
を得た．このデータから母集団の平均値を推定し
なさい．信頼係数は９５％とする．
ヒント：
標本平均＝１７１．６
分散推定＝３０．３
１限目ここから
練習問題（２）の解答
教科書157ページの例題４２を参照
練習問題：教科書158ページ（２）
ある高校の1年に在学する生徒から9名を選んで
100メートル走の記録をとった．
12.32, 15.28, 14.19, 13.72, 13.26
14.08, 14.06, 11.82, 12.80 （秒）
学年平均はいくら位ですか．信頼係数は95％です．
ヒント：
データ数＝9
標本平均＝13.50
分散推定＝1.138
まずこの形で解答してください
00.95
.95
 P 2.306  T  2.306 
 P ①  T  ①
ヒント：
データ数＝9
標本平均＝13.50
分散推定＝1.138
データ数が９だ
からT分布の自
由度は８


X


 P  2.306 
 2.306
Xˆ2 /n

 ① 
 P ① 
2 2
2 

ˆ
n
/

ˆ
ˆ




 P X  2.306 
   X  2.306 


n
n
2

 ˆ 2 
ˆ

 
 P  X  ①  1.138   X  ① 
1.138


 P13.50  2.306  n
   13.50  2.306  n  
9
9 

になりますか
12μについてのどんな式
PP
.7    14.3


宿
題
ある高校の1年に在学する生徒から9名を選んで
100メートル走の記録をとった．
12.32, 15.28, 14.19, 13.72, 13.26
14.08, 14.06, 11.82, 12.80 （秒）
学年平均はいくら位ですか．信頼係数は95％です．
なお、学年全体の標準偏差は1.8秒とします．
ヒント：
データ数＝9
標本平均＝13.50
分散推定＝1.138
教科書１５８頁練習問題（１）
小テスト（１回目）を
受けなかった人だけ
特別課題
教科書１５７ページの例題４２の結果
X  171.6, ˆ  30.3
2
が、５個のデータではなく、１０個のデータの結果であ
ったとすると、元の母集団の平均値μをどのように推
定すればよいか。信頼係数を９５％として区間を示し
なさい。
更に、いま元の母集団の分散が実は100であったこ
とが分かったとすると、母平均μについて、どのような
推定が可能か。あわせて回答しなさい。
今日の目標
推定のあとは検定に進みます
検定とは二択問題です．つまり二つの命
題のどちらかをデータをみて選びます．
正しいと仮定する命題を帰無仮説と呼び、
もう一方の命題を対立仮説と呼びます．
結論は、標準値（Z値）かT値が限界値を
超えるかどうかで、下します．
例題【１】
下に7個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０とは異なる平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の母集団の分散σ2は１である．
-1.11, 2.09, 0.11, 1.21, 1.91, 0.02, -0.24
ヒント：
標本平均＝0.57
分散推定＝1.418
教科書167ページの数値例
区間推定でも結論は出ます
0.95
 P 1.96  Z  1.96


X


 P  1.96 
 1.96 
2

/n



 P 0.57  1.96 
 P X  1.96  1 / 7    X  1.96  1 / 7

1 / 7    0.57  1.96  1 / 7
 P 0.17    1.31
平均ゼロの集団から出てきた可能性があります

例題【１】の模範解答
元の平均がゼロ
検定問題は二択問題です
だとするとデータ
の平均もゼロ近
H 0 : 元の平均（
）
辺
結論：
0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　標準値1.5は確率的によく出る
一方を真と仮定します
データが合っていないと
X 
0.57  0
データはおかしくない
帰無仮説
0
Z 0  対立仮説

2
 /n
本当の平均μは０としてもよい
このデータはおかし
いか・・・
標準値かT値で判
定する
1/ 7
 1.5
例題【２】
検定の基本を説明
済み。２限目はここ
から。
下に５個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０より大きい平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の分散σ2は１である．
1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63
ヒント：
標本平均＝0.58
分散推定＝0.171
教科書171頁の例題44
解答のポイント
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　標準値を出すところまでは同じ
Z0 
X  0
2 /n

0.58  0
 1.30
1 / 5 検定のポイントは
棄却域をどこに作るかです
棄却域の大きさ、つまり
５％ですが、これを有意
水準といいます
例題【２‘】
下に５個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０より大きい平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の分散σ2は１である．
1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63
ヒント：
標本平均＝0.58
分散推定＝0.171
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　解答【２‘】
T値を使え！
T0 
X  0
ˆ / n
2

0.58  0
0.171/ 5
 3.14
T値＞2.132になるので帰無
仮説は棄却！
練習問題【１】
データは例題（１）と同じ
下に7個のデータが与えられている。このデータは平均
が０である集団（＝母集団）から得られたものだろうか．
それとも０とは異なる平均をもつ集団から得られたデー
タだろうか．但し、元の分散σ2は１である．
-1.11, 2.09, 0.11, 1.21, 1.91, 0.02, -0.24
ヒント：
標本平均＝0.57
分散推定＝1.418
H 0 : 元の平均（） 0　vs　H 1 : 元の平均（） 0　解答【１】
T0 
１限目、解答まで
終わり。なぜ棄却
域を両側に？
X  0
2
ˆ
 /n

0.57  0
1.418 / 7
棄却できず
 1.27

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