モジュール1のまとめ

数理統計学
西山
練習問題【１】
後回しにします。
検出力のあと
とりあげます。
サイコロを100回振って出た目の平均を計算すると、
４．０だった。「このサイコロはおかしいね」と判定して
いいか？検定の手順に沿って結論を下しなさい。
正しいサイコロの性質
サイコロの目が、確率通りに出れば、目の数の平均
値は3.5、標準偏差は1.7になります。
検定の手順
母平均を仮定する（帰無仮説）。対立仮説は何か。
サンプル平均の分布図で
棄却域（普通5%分）を両側・右側・左側に作るか決める
上に合わせて標準値・T値の
限界値を確認
サンプル平均を標準化して
結論を下す
【解答】
H0 :   3.5 vs H1 :   3.5
母集団は
サイコロの目！
4  3 .5
Z0 
 2 .9
0.17
棄却域
-1.96
棄却域
1.96
練習問題【２】
下に５個のデータが与えられている。このデータは
平均が０である集団（＝母集団）から得られたものだ
ろうか．それとも０より大きい平均をもつ集団から得
られたデータだろうか．但し、母集団の分散σ2は１で
ある．
1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63
ヒント：
標本平均＝0.58
不偏分散＝0.171
サンプルが限界を超えれば棄却
右側だけの片側検定
H 0 :   0 vs H1 :   0
0.58と0（＝仮定）を比べる → 標準化
Z0 
基本
X  0
 /n
2

0.58  0
1/ 5
 1.30
両側で±２（厳密には1.96）
片側で＋1.65、あるいは－1.65
シグマハットを使うならT分布で「色をつける」
教科書171頁の例題44
練習問題【３】
正しいと思われるサイコロを20回振ったところ、1
の目が6回出た。どの目も満遍なくでるはずだから、
普通なら3回ないし4回のはずである。これは偶然
の範囲か、それとも1の目が出やすくなっているの
かを検定しなさい。有意水準は5%である。
教科書171ページ例題45
【着目点】
ゼロイチ母集団とゼロイチ・サンプルです
１の目が出た ⇒ １
他の目 ⇒ ０
サンプル平均
1 0  0 1 6
X

20
20
サイコロが正しいとすれば・・・
1
H0 : p 
6
vs
1
H1 : p 
6
こんなサンプルはよく出る？
母集団の分布の様子を図に描いてください
（ゼロイチ母集団）
平均μと標準偏差σは？
定理８を使って
2
1 1 5

 
n
20 6 6
N
許容範囲
仮置き
1
6
1が出すぎ
σ2
今日の目標
ここから
7／14
検定ミス(＝判断ミス）の可能性を調べます。
–第1種の過誤
–第2種の過誤
–検出力（＝異常を発見できる確率）
今週の例題【１】
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検
査をする．60Km/hからの停止距離の基準は60メー
トルである．
いま工場内に異常があり、停止距離が平均で2
メートルも基準値を超えている。ブレーキ検査をし
て、この異常に気がつくだろうか？但し、ブレーキを
踏むタイミングなどから、停止距離の測定値は2メー
トルの標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
正常
異常
教科書176ページ以降を参照
例題【１】の考え方
この限界値は
61.47です．なぜ？
判断ミスに二通りあり
必要のない検査をした
意味では生産者危険
欠陥車に気が
つかないので
消費者危険
検査結果
正常
真
相
異常
第1種の
正常(H0) あいまい過誤（α）
異常(H1)
第2種の
過誤（β）
検出
例題【１】の解答
第2種の過誤（β）
 PX  61.47 | H 1 
61.47  62 

 P Z 

0.894 

 PZ   0.56
 0.29
10回に3回は異常に
気がつかない！
検出力＝1-0.29＝0.71
ある日のブレーキ検査
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検査をする．
60Km/hからの停止距離の基準は60メートルになっている．
5回の測定値の結果は
59.3、 59.6、 62.7、 62.7、 62.3
となった。以下の検定を行いなさい。但し、ブレーキを踏むタイ
ミングなどから、停止距離の測定値は2メートルの標準偏差で
ばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60 vs　H 1 : 元の平均（） 62
正常
X  61.32
ˆ  2.85
2
異常
どんな結果は異常と決めましたか？
解答
ここまで
7／14
異常なしと仮定して
Z0 
61.32  60.0
2
2
5
1.32

 1.48
0.894
限界値1.645を超えていないので、結果正常
検出漏れの確率は３０％
どんな判断ミスが
心配？
2メートルも甘くなっていても検査で
確認できない確率が高い
検出漏れ＝３０％
検査結果
正常
真
相
異常
第1種の
正常(H0) あいまい過誤（α）
異常(H1)
第2種の
過誤（β）
検出

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