線形代数学第１章ベクトル 1.1 ベクトル空間 1.2 ベクトルの一次独立性 1.3 部分ベクトル空間平成16年6月3日（木）谷津哲平 n次元数ベクトル定義1.1 n次元数ベクトル n個の実数または複素数 a1, a2,…, an を順序も考えて横に並べた列 ( a1, a2,…, an ) (1.1) 2次元実ベクトル（ a1, a2 ） ⇒ 平面上の位置ベクトル 3次元実ベクトル（ a1, a2, a3 ） ⇒ 空間の位置ベクトル加法と数乗法ｎ n次元の実数ベクトルの全体の作る集合R の要素の間には次の演算が考えられる加法 (a1, a2, …,an) + (b1, b2, …,bn) = (a1 +b1, a2 +b2, …,an +bn) 数乗法 λ・(a1, a2, …,an) = (λa1, λa2, …, λan) ｎｎ R の任意の要素にこの演算をほどこしても， R から出てしまうことは無いベクトル空間の公理 1 a+b=b+a 2 (a + b) + c = a + (b + c) 3 a+0=a この性質を持つ元 0 がどんな a にも存在する 4 a+x=0 この性質を持つ元 x が a に応じて存在する 5 1・a=a 6 λ・(μ・a) = (λμ)・a 7 (λ+μ)・a = λ・a +μ・a 8 λ・(a + b) = λ・a + λ・b ベクトルとスカラーベクトル…ベクトル空間の元スカラー…数乗法に用いられる数係数体（スカラー体）…スカラー全体の作る集合（その中で四則演算ができる集合） ※スカラー体は実数全体 Rか，複素数全体 Cをとることが多いどちらでも通用するときK 例）K上のベクトル空間ベクトルの1次結合 x = c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak (1.3) ベクトル x を a1, a2,…..,ak の1次結合という（張られている） c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak + (-1)・x = 0 (1.4) ベクトルの1次従属 c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak + (-1)・x = 0 (1.4) 定義1.2 a1, a2,…..,ak が1次従属であるすべては 0 でないあるスカラー c1,c2, ….,ckによって次が成り立つ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) 1次従属と1次結合 c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) a1, a2,…..,ak が1次従属ならばc1,c2, ….,ckのうちどれかは0でない -ci ai = c1 a1 + … +ci-1 ai-1 + ci+1 ai+1 + …+ck ak 0でないスカラー ai = (-1/ ci )（c1 a1 + … +ci-1 ai-1 + ci+1 ai+1 + …+ck ak ) ai は a1,…ai-1, ai+1, … akの1次結合!! ベクトルの1次独立 1次従属でなければ 1次独立定義1.3 a1, a2,…..,ak が1次独立である c1 = c2=….=ck = 0 によって次が成り立つ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) 部分ベクトル空間ｎ R の部分集合Eが，スカラー乗法に関して“閉じて”いるときｎ 2 E を R の部分ベクトル空間という R では原点を通る直線 3 R では原点を通る直線や平面 Eが部分ベクトル空間であることをいうには「任意のa, b∈E とλ,μ∈Rに対し，λa +μb∈E 」をいえばよいベクトルa１,….,akから決まる E を a１,….,ak-1で張られる部分ベクトル空間といい次のようにかく E = [a１,….,ak-1] 部分空間の基底 a1, a2,…..,ak が1次従属ならばある一つ例えばakは他のa１,….,ak-1で張られている →Eはa１,….,ak-1で張られている a1, a2,…..,ak が1次独立で，かつ， E=[a１,….,ak-1] ならば a１,….,ak-1をEの基底という． k は E の次元まとめ c1 a1 + c2 a2 + ……+ck ak = 0 (1.5) 0 でないスカラーc があるなら 1次従属 c がすべて 0 なら 1次独立 a1,…, akが 1次従属であることと, そのうちのどれか1つが他の 1次結合であることは同じ概念＜基底＞ 1．それらは1次独立 2．任意のベクトルはそれらの1次結合の形に表せる宿題 1. 次のベクトルは1次独立か否か． (1) a1 = ( 1, 1, -1), a2 = ( 2, 1, 0), a3 = ( 0, -2, 5) (2) a1 = ( 1, 0, 1, 0), a2 = ( 2, 1, 1, 1), a3 = ( 0, 1, 2, 3) 2. n次元ベクトルが（n+1）個以上あればそれらは1次従属であることを示せ． 3 3. 次のR の平面は部分ベクトルである．基底をつくれ． (1) x + 3y – z = 0 (2) 2x – y = 0