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実践問題集ベクトル
(No. 1)
内積の計算
1.
2 つのベクトル ⃗a =（1，x），⃗b =（2，−1）について，次の問いに答えよ。
(1) ⃗a + ⃗b と 2⃗a − 3⃗b が垂直であるとき，x の値を求めよ。
(2) ⃗a + ⃗b と 2⃗a − 3⃗b が平行であるとき，x の値を求めよ。
(3) ⃗a と ⃗b のなす角が π であるとき，x の値を求めよ。
3
（04 静岡大）
実践問題集ベクトル
2.
(No. 2)
O を原点とする座標平面において，半円 x2 + y 2 = 1（y 0）上の 3 点 P，Q，R が，こ
の順に反時計回りに並んでいる。このとき，以下の空欄をうめよ。
−→ −→
(1) OP · OQ = 1 のとき，∠POQ =
である。
2
√
−→ −→
−→ −→
3 −→ −→
1
(2) OP · OQ =
，OQ · OR = − のとき，OP · OR =
2
2
√
−→ −→
−→ −→
2 −→ −→
(3) OP · OQ =
，OP // QR のとき，OP · OR =
2
である。
である。
（05 会津大）
実践問題集ベクトル
3.
(No. 3)
−→
−→
xy 平面上のベクトル OA = (1, 1) と 30◦ の角をなす大きさ 1 のベクトルを OB = (a, b)
−→
とする。a + b と ab の値を求め，つぎに a < b のときベクトル OB を定めよ。ただし，O
は座標の原点である。
（06 信州大・工）
実践問題集ベクトル
(No. 4)
内分点・外分点
4.
三角形 OAB の辺 OA を 1 : 2，辺 OB を 3 : 1 に内分する点をそれぞれ M，N とし，AN
−→ −
→ −→ −
→
と BM の交点を P とする。OA = a ，OB = b とおくとき，次の問に答えよ。
−→
→ →
−
−
(1) AP : PN = m : (1 − m) とするとき，OP を m と a ， b を用いて表せ。
−→ −
→ −
→
(2) OP を a ， b を用いて表せ。
−
→ −
→
(3) ∠AOB = 90◦ で OP ⊥ AB であるとき，| a | : | b | を求めよ。
（06 福岡工大）
実践問題集ベクトル
5.
(No. 5)
△OAB において，辺 OA を 2 : 1 に内分する点を P とし，辺 AB を 2 : 3 に内分する点を Q と
−→ −
→ −→ −
→
−→ −
→−
→
−→
する。OA = a ，OB = b とおくとき，PQ を a ，b を用いて表すと PQ =
である。また，辺 OB を m : n（m > n）に外分する点を R とし，3 点 P，Q，R は同一
直線上にあるとする。このとき，m : n =
である。
（06 福岡大・理系）
実践問題集ベクトル
6.
(No. 6)
△OAB において，辺 AB の中点を M，辺 OA を 2 : 1 に内分する点を D，辺 OB を 3 : 1
−→ −
→ −→ −
→
に内分する点を E とする。OA = a ，OB = b とするとき，次の問いに答えよ。
−−→ −−→ −
→ −
→
(1) MD，ME を a ， b で表せ。
−−→ −→ −−→ −→
(2) MD ⊥ OA，ME ⊥ OB のとき，OA : OB : AB を求めよ。
（06 宇都宮大・理系）
実践問題集ベクトル
7.
(No. 7)
△OAB において，辺 OB の中点を M，辺 OA を h : (1 − h) (0 < h < 1) に内分する点
を D とし，線分 AM，BD の交点を E とする。次の各問に答えよ。
−→ −
→ −→ −
→
−→ −
→ −
→
(1) OA = a ，OB = b とするとき，OE を a ， b および h で表せ。
√
−→
−→
−→
7
のとき，h の値を求めよ。
(2) |OA| = 3，|OB| = 4，∠AOB = 60◦ ，|AE| =
2
（06 琉球大・教育，農）
実践問題集ベクトル
8.
(No. 8)
三角形 OAB において，辺 AB を 2 : 1 に内分する点を P，線分 OP を k : (1 − k) に内分す
−→ −
→ −→ −
→
る点を Q とし，直線 AQ と直線 OB の交点を R とする。OA = a ，OB = b として，次
の問いに答えよ。ただし，実数 k は 0 < k < 1 の範囲を動くものとする。
−→
−
→ −
→
(1) OQ を k ， a ， b で表せ。
−→
−
→
(2) OR を k ， b で表せ。
(3) 直線 PR が直線 AO に平行になるとき，k の値を求めよ。
（06 新潟大）
実践問題集ベクトル
9.
(No. 9)
−→
−→ −→
平面上に 1 辺の長さ 1 の正三角形 OAB と OC = 2OA + OB で定まる点 C がある。線分
−→
−→
AB と OC の交点を D とする。線分 CD 上の C，D とは異なる点 P について，OP = tOC
とおく。
(1) t の範囲を求めよ。
−→
−→
(2) |PB|2 = 4|PA|2 を満たす P について，t の値を求めよ。
(3) (2) の P について，∠APB の大きさを求めよ。
（06 群馬大）
実践問題集ベクトル
10.
(No. 10)
△OAB において，辺 AB を 1 : 2 に内分する点を C とし，辺 OA の延長線上に点 D をと
−→
−→
り，OD = xOA（ただし x > 1）とする。2 点 C，D を通る直線と辺 OB が交わる点を E
−→
−→
とする。ここで，OE = y OB とし，点 C は線分 DE を t : (1 − t) に内分しているとする
（ただし 0 < t < 1）。
(1) x, y を t で表せ。
(2) △OAB の面積を 1 とするとき，△ODE の面積を t で表せ。また，△ODE の面積の最
小値と，そのときの t の値を求めよ。
（06 東京海洋大）
実践問題集ベクトル
(No. 11)
空間ベクトル
11.
−→
O を原点とする座標空間内の 2 点 A(1, 1, 2)，B(2, 4, 1) を通る直線上に点 P をとる。AB
−→
と OP が直交するときの点 P の座標を求めよ。
（06 信州大・理，医）
実践問題集ベクトル
12.
(No. 12)
次の空欄にあてはまる数値を解答欄に記入せよ。
(1) 3 点 A(1, 4, 3)，B(5, 3, 2)，C(3, 2, 4) を頂点とする三角形がある。このとき，ベク
−→ −→
トル AB，AC のなす角は
である。また，△ABC の面積は
で
ある。
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
(2) ベクトル a = (3，4，3)，b = (3，1，4)，c = (2，1，2) がある。このとき， a + t b と
→
−
−
→
b + t c が直交するならば，実数 t =
である。
（05 早大・政経）
実践問題集ベクトル
13.
(No. 13)
空間内の 3 点を A(1, 4, 5)，B(3, 6, 7)，C(3, 5, 7) とする。直線 AB と，C から直線 AB
に引いた垂線との交点を H とする。
このとき次の問いに答えよ。
−→
−→
(1) AH = tAB を満たす実数 t を求めよ。
(2) △ABC の面積を求めよ。
（06 群馬大・教育）
実践問題集ベクトル
14.
(No. 14)
−→
空間内に 4 点 O(0, 0, 0)，A(1, 1, 1)，B(−1, − 1, 1)，P(x, y, 0) がある。ベクトル AO
−→
−→ −→
と AP が直交し，ベクトル BO と BP のなす角が 60◦ となるとき，x, y を求めよ。
（05 和歌山大）
実践問題集ベクトル
15.
(No. 15)
空間内の 3 点 O(0, 0, 0)，A(2, 1, −2)，B(−2, 3, −2) を通る平面 π と点 P(5c, c+1, c−1)
を考える。次の問に答えよ。
(1) 点 P が平面 π 上にあるように，定数 c の値を求めよ。
−
→
(2) 平面 π に垂直な大きさ 1 のベクトル (単位ベクトル) e の成分表示を求めよ。
(3) 点 P は平面 π 上にないとする。
点 P を通り平面 π に垂直な直線 l と平面 π との交点 H の座標を，c を用いて表せ。
(4) 点 P は平面 π 上にないとする。
平面 π に関して，点 P と対称な点 Q の座標を，c を用いて表せ。
（06 早大・社会科）
実践問題集ベクトル
(No. 16)
四面体
16.
→ −→ −
−
→ −→
O を原点とする空間座標に 2 点 A(1, 0, 3)，B(2, 5, − 4) をとり， a = OA, b = OB と
おく。次の問いに答えよ。
→ →
−
−
(1) a , b のなす角を θ (0◦ θ 180◦ ) とするとき，sin θ の値を求めよ。
−→ −
→ −
→
(2) ベクトル OC が a , b のいずれとも垂直になるような点 C(x, y, z) のうちで z = 1
となるものを求めよ。
(3) 原点 O と (2) で求めた点 C を通る直線を l とする。点 D(0, 0, 7) から l に下ろした垂
線が l と交わる点を P とする。P の座標を求めよ。
(4) 四面体 OABP の体積 V を求めよ。
（06 東京農工大）
実践問題集ベクトル
(No. 17)
1. (1) x = −3, 5
(2) x = − 1
2
2
√
√
3
2
2. 60◦ , −
, −
2
2
√
√
√
√
6− 2
6+ 2
3. a =
，b =
4
4
√
(3) x = −8 ± 5 3
−→
−
→
−
→
4. (1) OP = (1 − m) a + 3 m b
4
−→
−
→
−
→
(2) OP = 1 a + 2 b
9
3
√
−
→ −
→
(3) | a | : | b | = 6 : 1
−
→
−
→
5. − a + 6 b , 4 : 3
15
−−→
−
→
→ −−→
−
−
→
→
−
6. (1) MD = 1 a − 1 b ，ME = − 1 a + 1 b
6
2
2
4
√ √ √
(2) 3 : 2 : 3
−→
7. (1) OE =
→
→
−
h −
a + 1−h b
2−h
2−h
(2) h = 2
3
−
→
−
→
−→
8. (1) OQ = k a + 2 k b
3
3
−→
−
→
2k
b
(2) OR =
3−k
(3) k = 3
4
9. (1) 1 < t < 1
3
2
10. (1) x =
, y= 1
3(1 − t)
3t
(2) t = 3
7
2
8
1
，最小値，t =
9(1 − t)t
9
2
(
)
11. P 9 , 5 , 24
11 11 11
(2) △ODE =
12. (1) 45◦ , 9
2
(2)
√
−21 ± 66
15
13. (1) 5
6
√
(2) 2
(3) 120◦
実践問題集ベクトル
(
14. (x, y) =
3±
√
2
69
,
(No. 18)
3∓
√
2
69
)
（複合同順）
15. (1) c = 0
) (
)
−
→ (
(2) e = 1 , 2 , 2 , − 1 , − 2 , − 2
3 3 3
3
3
3
(3) H(4c, 1 − c, − 1 − c)
(4) Q(3c, 1 − 3c, − 1 − 3c)
√
7
16. (1)
3
(
)
(3) P − 3 , 2, 1
2
2
−→
(2) OC = (−3, 2, 1)
(4) V = 35
6

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