06：一次独立と一次従属 線形代数演習 一次結合，一次独立と一次従属 一次結合，線形結合 1次関係，線形関係 ベクトル u 1 , u 2 , L , u nが c1 u 1 + c 2 u 2 + L + c n u n = 0 をみたすとき，これを 線形独立と線型従属 ベクトル u 1 , u 2 , L , u nの1次関係という 一次独立 定理４．６．１ k 個のベクトル a1 , a 2 , L , a k が1次独立であるための 必要十分条件は r ( a1 a 2 L ak ) = k となることである． 以下のベクトルの組が一次独立かどうか調べよ． （１） 1 3 a1 = , a 2 = 2 7 （２） 2 3 a1 = 1 , a 2 = 2 − 1 1 （３） 1 − 2 a1 = , a 2 = − 3 6 （１） 1 3 a1 = , a 2 = 2 7 1 3 ②＋① × ( − 2 ) 1 → 2 7 0 （２） 2 3 a1 = 1 , a 2 = 2 − 1 1 2 3 0 ① + ② × ( −2 ) → 1 1 2 ③＋② −1 1 0 3 ①＋② × ( − 3 ) 1 → 1 0 1 r 2 3 = 2 7 − 1 1 ① × ( − 1) ↔ ② → 0 2 0 3 2 3 r 1 2 = 2 −1 1 0 1 1次独立である 2 1 ① + ② ×( −2 ) 1 → 0 ③ + ② × ( −3 ) 0 3 1次独立である 0 1 0 （３） 1 − 2 a1 = , a 2 = − 3 6 1 −3 − 2 ①＋② × ( − 3 ) 1 − 2 → 6 0 0 1 − 2 = 1 r −3 6 1次従属である 以下のような1次結合で考えると自明な解以外を持つ， 1 − 2 + c 2 = 0 c1 − 3 6 c1 = 2c 2とあらわされるので， 1 − 2 + = 0 2 − 3 6 2 a1 + a 2 = 0 a 2は a1の − 2 倍であるというように a 2 = − 2 a1 従属している ベクトルの1次独立な最大個数 1 − 2 − 1 1 1 3 − 4 − 4 1 2 a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = 0 − 3 1 7 3 − 1 − 2 − 1 0 0 b1 , b2 , b4は一次独立 b3 , b5は b3 = −b1 + 2b2 b5 = 2b1 − b2 + b4 答 a1 , a2 , a3 , a4 , a5の一次独立な最大個数r = 3 a1 , a2 , a4は一次独立 a3 = −a1 + 2a2 a5 = 2a1 − a2 + a4 a1 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 a2 1 2 0 −1 1 1 −3 −1 0 1 0 0 a3 1 3 −3 −2 1 2 −6 −2 −1 2 0 0 a4 −2 −4 1 −1 −2 −2 7 −1 0 −2 1 −3 a5 −1 −4 7 0 −1 −3 10 0 2 −3 1 −3 1 0 0 0 b1 0 1 0 0 b2 −1 2 0 0 b3 0 0 1 0 b4 2 −1 1 0 b5 aiとbiの線形関係は同じ ② + ① × (−1) ③ + ① × (−3) ① + ② × (−1) ③ + ②×3 ④+② ② + ③× 2 ④ + ③×3
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