1/11 双対空間 (Dual space) 電通大数学：山田 2/11 n 次元線形空間 V に対して, 次の集合を V の双対空間とよぶ． V ∗ = { V から R への線形写像 } V ∗ の元をコベクトルというただし f : V → R が線形写像であるとは, 次の２条件が成り立つことである. (1) f は和を保つ： f (~ u+~ v ) = f (~ u) + f (~ v) (2) f はスカラー倍を保つ： f (c~ u) = cf (~ u) 3/11 事実． V ∗ は n 次元（V と同じ次元）の線形空間となる. dim V ∗ = dim V V ∗ 内の（コベクトル）の和とスカラー倍は次のように定義する. (1) f, g ∈ V ∗ のとき「f と g の和」(f + g) ∈ V ∗ は (f + g)(~ u) = f (~ u) + g(~ u). (2) f ∈ V ∗ , c ∈ R のとき「f の c 倍」(cf ) ∈ V ∗ は (cf )(~ u) = cf (~ u). 4/11 さて, V の基底 B = {~ e1 , ~ e2 , · · · , ~ en } を１つ固定する. V ∗ の元 f は基底の各ベクトルに対する値 f (~ e1 ) = a1 , f (~ e2 ) = a2 , · · · , f (~ en ) = a3 が与えられれば f (c1~ e1 + c2~ e2 + · · · + cn~ en ) = c1 a1 + c2 a2 + · · · cn an となり「V のすべてのベクトルに対する f の像」つまり写像 f 自体が定まる. 5/11 今, V の基底 B = {~ e1 , ~ e2 , · · · , ~ en } に対して V ∗ の元 e∗i (i = 1, 2, · · · , n) を e∗i (~ ej ) = { 1 if i = j 0 if i 6= j と定めると, {e∗1 , e∗2 , · · · , e∗n } は V ∗ の基底となることがわかる. これを B の双対基底とよび, B∗ と表す： B∗ = {e∗1 , e∗2 , · · · , e∗n} 与えられた基底 B に対して定められていることに注意． 6/11 計算例：コベクトルへのベクトルの代入 e∗1 (2~ e1 − 3~ e2 ) = 2 e∗1 (~ e1 ) − 3 e∗2 (~ e2 ) =2·1−3·0 =2 メモ：e∗j は ~ ej の係数（第 i 成分）を返す. さらに (40e∗1 − 25e∗2 )(2~ e1 − 3~ e2 ) = 40e∗1 (2~ e1 − 3~ e2 ) − 25e∗2 (2~ e1 − 3~ e2 ) = 40 · 2 − 25 · 3 =5 7/11 双対空間から１次微分形式へコベクトル場 8/11 対応１点における平面・空間の各点でベクトルベクトル場コベクトル “コベクトル場” → １次微分形式１次微分形式とは, 各点でその点を始点とするコベクトルが指定されていること考察ベクトルに始点があるので， ⇒ １次微分形式には，どこが始点のベクトルでも代入できる． 9/11 表示：まず基本 { } ∂ ∂ B = ,··· , at P に対して ∂x1 ∂xn B∗ = {dx1 , · · · , dxn } at P が双対基底． ( dxi 言い換えると ∂ = ∂xj at P  { )  a1  ..   .    dxi  ai   ..   .  an 1 if i = j 0 if i 6= j      = ai   at P メモ：dxi は第 i 成分を返す. 10/11 計算例：１次微分形式へのベクトルの代入基本 ( dx1 ( ) ( ) ) ∂ ∂ ∂ ∂ 2 −3 − 3 dx1 = 2 dx1 ∂x1 ∂x2 at P ∂x1 at P ∂x2 at P =2·1−3·0 =2 メモ：dxi は第 i 成分を返す. 11/11 計算例：１次微分形式へのベクトルの代入 µ = 2xy dx + x2 dy に [ ] ∂ ∂ 2 ~ a= 2 −3 = −3 ∂x ∂y at (4, 5) ( µ(~ a) = (2xy dx + x2 dy) を代入 at (4, 5) ) ∂ ∂ 2 −3 ∂x ∂y at (4, 5) ↓ at (4, 5) ) ∂ ∂ 2 = (2 · 4 · 5 dx + 5 dy) at (4, 5) 2 −3 ∂x ∂y at (4, 5) ) ( ∂ ∂ = (40 dx + 25 dy)| at (4, 5) 2 −3 ∂x ∂y at (4, 5) = 40 · 2 − 25 · 3 ( =5