ベクトル、座標軸と座標 P q 原点 i 座標軸 x x | P | cosq x | P || i | cosq  i  P x  iP X ３次元座標系とベクトル（点）の座標ベクトル（点）P の x, y, z 座標は、P と X, Y, Z 軸の単位ベクトル i, j, k との内積を表すことができる。  x  iP   y  j P z  k  P  (1) ３次元座標系におけるベクトル（点）の表現 P は３次元座標系 O-XYZ における座標 (x, y, z) を用いて表現できる。一般的に、ベクトルは3行1列の行列で表せ、この表現は列ベクトルとも呼ばれる。  x   P   y  z  (2) 式(1)、(2)により、X, Y, Z 軸の単位ベクトルi, j, k は次のように表現される。 1  i  0  0  0  j  1  0  0  k  0 1 ３次元座標系におけるベクトル（点）の表現 P は３次元座標系 O-XYZ における座標 (x, y, z) を用いて次のようにも表現できる。 P  xi  yj  zk  i  x   j k  y   z  結果的に P  i  x  1 0 0   x   x          j k  y   0 1 0  y    y   z  0 0 1  z   z  3次元ベクトルの内積 ax  bx      A  a y 、 B  by   a z  bz  とすると、 A  axi  ay j  azk B  bx i  by j  bz k したがって、 A  B  a x i  a y j  a z k  bx i  by j  bz k   a xbx i  i  a y bx j  i  a z bxk  i  a xby i  j  a y by j  j  a z bx k  j  a xbz i  k  a y bz j  k  a z bz k  k i, j, kはX, Y, Z 軸の単位ベクトルで、iとi, jとj, そしてkと kは平行である。だから、 i  i  j j  k  k  1 iとj, jとk, そしてkとiは垂直である。したがって、 i  j  j i  j k  k  j  k  i  i  k  0 したがって、 A  B  a xbx  a y by  a z bz   a x ay bx    T a z by   A B bz   回転変換 PがO-XYZにおける座標が既知 O’-X’Y’Z’座標系におけるPの座標を求める問題である。 Y Y' P= (x, y, z) = (x', y', z') y X' y' x' O x X 回転変換前提条件： ● PがO-XYZにおける座標x,y,z ● O’-X’Y’Z’座標系の各軸の単位ベクトルがO-XYZにおける座標が既知であること。  x'  i' P   y '  j' P  z '  k' P  T T    i'  P i'    x'  i' P   y '   j'P    j' T P    j' T  P      T   T  z '  k' P  k'  P  k'       i x '  j x '  j x ' i'  i y ', j'   j y ', k'   j y ' iz '  j z '  j z ' とすると、  x'  ix ' i y ' iz '   x   y '   j ' j ' j '  y  y y      x  z '  k x ' k y ' k y '  z  回転行列は変換先の座標軸の単位ベクトルのである回転行列の性質  i' T   T T RR   j'  i' k' T     i' T i'  T j' k'    j'  i' k' T i'  i' T j' i' T k'  1   T T j'  j' j'  k'   0 k' T j' k' T k'  0 R R -1 T 0 0 1 0 0 1 回転行列の性質  x  x'  y   R -1  y '      z   z '  i x '  -1 T R  R  i y ' iz ' j x ' k x '  j y ' k y ' j z ' k z ' したがって、  iy '   ix '   iz '      i   j x ', j   j y ', k   j z ' k y ' k x '   k ' z     課題：  iy '   ix '   iz '      i   j x ', j   j y ', k   j z ' k y ' k x '   k ' z     一方、 1  i  0  0  0  j  1  0  0  k  0 1 両方の表現の意義について説明してください。座標変換 PがO-XYZにおける座標が既知 O’-X’Y’Z’座標系におけるPの座標を求める問題である。 Y' Y P'= P-O' X' P' P O O' X  x '  i' P  O'    y '  j' P  O'   z '  k' P  O'   したがって T T    i'  i'    x'  y '   j' T  P   j' T O'      T k' T   z '  k'       並進ベクトル