電磁気学１演義第 3 回 2015 年 4 月 28 日 1. N 個の電荷 i = 1, 2, . . . , N の電荷を qi 、位置ベクトルを r i (t)、速度ベクトルを v i (t) とする。電荷密度および電流密度は ρ(r, t) = N X qi δ 3 (r − r i (t)) j(r, t) = N X qi v i (t)δ 3 (r − ri (t)) i=1 i=1 と表せる。12 (a) これらが、連続の式を満たしていることを示せ。 ∂ρ = −∇ · j ∂t (b) ある閉じた領域 V に含まれる全電荷 Q(t) の時間変化は Z dQ(t) = − dS · j dt と表せることを示せ。ただし右辺の面積分は、領域 V を囲む表面とする。 2. 図のように電荷が配置されているとき、電荷分布の中心から十分離れた点における電位と電場を、d の 2 次までの正確さで求めよ (2) (1) -q +q +q +q -2q d d d d +q -q 3. 時間的に定常な電流密度場 j(r, t) があるとき、静磁場ができる。Maxwell 方程式を積分することによって、静磁場を以下のそれぞれの場合について求めよ。（ヒント：系の対称性に注目し、ストークスの定理をうまく用いよ。) (a) z 軸方向に無限に伸びた直線上を、強さ I の定常電流が +z 方向に流れている場合。3 PN 3 「密度」としては、数密度 ρn (r) = i=1 δ (r − ri (t))、同様に mi を質量とすれば質量密度 PN ρm (r) = i=1 mi δ 3 (r − ri (t)) などを定義できる。これらも保存量なので連続の式を考えることができる。 2 これらは「密度」の微視的な表現である。ある領域で密度（例えば数密度 ρn (r)) を積分した結果 R N (V ) = V dV ′ ρn (r′ ) が、体積 V に比例すれば N (V ) = ρn V と表せ、「平均密度」ρn を定義できる。 3 ˆ Iδ(x)δ(y) である。了解？直線が原点を通るとすれば、j = z 1 (b) z 軸方向に無限に伸びた半径 a の円柱の内部を、強さ I の定常電流が +z 方向に流れている場合。電流は、円柱内で均一とする。円柱内部、外部を含めて磁場を求めよ。 (c) z 軸に垂直な無限に広い平面上を、均一な定常電流が x 方向に流れている場合。電流に直交する直線を、単位長さあたり強さ K の電流が通過しているとする。平面の両側で磁場を求めよ。 (d) z 軸方向に無限に伸びた半径 a の円筒の表面上を、定常電流が円周方向に流れている場合。電流に直交する直線を、単位長さあたり強さ K の電流が通過しているとする。円筒内部、外部を含めて磁場を求めよ。