Fluid description of a plasma

2007.04.24-25
Fluid description
of a plasma
１）巨視量の保存則
２）F.P. eq. から巨視量に関する方程式の導出
1
Fluid description of a plasma （I）
• プラズマを流体の一種として取り扱う表現。
• 流体の変位という場合には個々のプラズマの
変位を表すのではなく、点の集合とは見なす
ものの、多数のプラズマから構成される体積
素片の変位を意味する。
• 流体記述で必要なのは、速度v=v(r,t)と圧力
p(r,t), 密度r(r,t)等であり、これらを与えること
により運動する流体の状態を記述可能である。
2
流体の速度V
• V(x,y,z,t)は時間tにおける点ｒ（x,y,z)にある流体の速
度。すなわち空間の固定点に関するもので流体中の
一定の粒子に関するものではない。この粒子は時間
とともに空間中を移動する。これは圧力や密度に関し
ても同じである。

 
3
n(r , t )   f ( v , r , t )dv

 
3
r (r , t )   mf ( v, r , t )dv  nm
 
  
3
 
3
V(r, t )   vf ( v, r, t )dv /  f ( v, r, t )dv 
  
3
 vf ( v, r, t)dv
n
3
保存則
1) 空間のある体積V0を考える。
V0 
M  rdV
２）この空間に存在する流体の総質量Ｍは
M   rdV
３）境界面の面要素dSを通って、
単位時間に流れる質量は？
 
rV  dS
次元は？
 
rv  dSkg/ s
一般ルールとして
流入を v・ds<0
流出を v・ds>0
４）境界面の面要素dSを通って、
単位時間に流れる質量は？
 
  rV  d S
M

4
保存則バスタブ理論
1) 体積V0のバスタブ中の質量の減少率は


t

rdV

 
  rV  d S
M

注）
Greenの公式を用いて右辺を
体積積分に変換せよ。
流失率と等値されるべき


t


 
rdV   rV  dS
5

t

t





rdV      rV dV  0
 
rdV   rV  dS  0
 


r
 t dV     rV dV  0
 
 r 
  t    rV dV  0
 
 

r 
   rV  0
t
各項の次元は？
6
修正バスタブ理論
1) 水量を一定に保つため、あらたに外部から単位時間にSext[kg/m3s]の割合で水を注入
Sext


t

rdV

 
  rV  d S
M

 

r 
   rV  S ext
t
7
リサイクル型修正バスタブ理論 II
1) 流出水量率のうちリサイクル率Rでバスタブに戻ってくる。これに外部から単位時間
にSext[kg/m3s]の割合で水を注入
Sext


t

1-R
rdV

R


  rv  dS
M



r
 (1  R )  rv   Sext
t


   (1  R )rv   Sext
注）損失束に対応したバスタブ閉じ込め
時間twater を導入すると?
8
バスタブ内水量閉じ込め時間
Sext


t

1-R
rdV

R


  rv  dS
M

１）閉じ込め時間はバスタブ全体積で考えよ！


 
M
 (1  R ) rv  dS   S extdV
t
M
 (1  R )
 Q ext
t bathtub
２）定常状態の後外部供給を停止するとどうなるか？
３）真のバスタブ閉じ込め時間を測定するには
どうするか？
9
連続の式
微分形
n  
     0,
t


  nV
積分形
 
N
    d S  0,
t
N   n dV
10
非圧縮性流体の連続の式
 

n 
   nV  0
t
 
 
n
 n V  V  n  0
t

 

もし、考えている流体が圧縮（膨張）されない、すなわち密度が一定の場合には
密度の時間変化、空間変化がない
 
 

n 
   nV  0
t
 
V  0
11
衝突は粒子数の変化をもたらすか？
n(r , t )   f ( v , r , t )dv
3
衝突による粒子数の変化率の期待値
 f 
3
f
(
v
,
r
,
t
)
dv


  t coll
？
F.P. equationのモーメントをとることで、流体方程式（連続の式）の導出が可能


f  
 f 
 v  f   
t
 t coll
12
F.P. の０次モーメントから連続の式へ
 
f  
 f 
 v  f   
t
 t coll


 
f
 f 
 t dv   v   fdv    t coll dv


f (r , v, t )
dv     vf (r , v, t )dv  0

t

n(r , t ) 
   n(r , t )V(r , t )  0 注）ｖとＶは本質的に全く異なる
t


13
運動量保存則
1) 流体中のある体積V0を考える。
V0
２）この流体に働く力の総和は
F    pdS
次元は？
３）力の総和を境界面での面積分から
体積積分に変換して
 


  pdS    p dV
すなわち、任意の体積要素ｄＶを
取り囲む流体はその体積要素に
-dVgradp という力を及ぼしている
４）この流体の力のバランスの式は？

dV 
r
F
dt
14
運動量に関する保存則

dV
r
 p
dt
流体の速度Ｖに関する微分を
１）空間の固定点での流体の速度の変化
２） dt時間内のdr離れた同時刻での速度の違いによる速度変化

  V 
  
dt  dr   V
dV  


t






  


dV
V  d r 

     V

dt  t   dt 

V   

 V  V
t


15
流体の運動方程式

  

V
r
 rV   V  p
t


重量場、電磁場中に置かれたプラズマ流体の運動方程式は

  

  

V
r
 rV   V  p  qn(E  V  B)  rg
t


16
F.P. 方程式の１次のモーメント
 
１次運動量モーメント
f  
 f 
 v  f   
t
 t coll
mV(r, t )   mvf ( v, r, t )dv /  f ( v, r, t )dv   pf ( v, r, t )dv / n


r (r, t )V(r, t )   pf ( v, r, t )dv
右辺の衝突項は全系の衝突による運動量保存則より
 f 
3
p
dv
  t coll  0
f

t

v
  f

 f 
 

 t  col l
第２項のモーメントを計算する、次のテンソルを導入する
    mv v  f ( v, r, t )dv
3
17
運動量保存則
F.P. 方程式
 
f  
 f 
 v  f   
t
 t coll
１次運動量のモーメントから流体方程式（運動量の式）


rV      0
t
x
ここで、圧力テンソルは運動量の流れの密度テンソルである。
たとえば、プラズマが毎秒 X軸に垂直な単位面積を通過して運ばれる
運動量の成分である。
18
エネルギー保存則
• F.P.式とエネルギーのモーメントから流体のエネル
ギー保存則を導くことができる。
 
f  
 f 
 v  f   
t
 t coll
 

n     q  0
t
ここで、はエネルギー、qはエネルギーの流れの密度（エネルギー流速）



q   vf ( v , r , t )dv
19
プラズマエネルギー閉じ込め
 3 
 nT    q  Pext  PDT
t  2 
次元は？
積分形は？
 
W
  q  dS  Q ext  Q DT
t
プラズマの全エネルギー
全加熱パワー
3
W   n(r , t )T(r , t )dV
2
Q   Pext  PDT dV
次元は？
次元は？
20
エネルギー閉じ込め時間 tE
• エネルギー損失率を積分形で次のように表す。
W
W

 Q ext
t
tE
W
tE 
W
Qext 
t
定常状態から外部パワーをoffするとプラズマエネルギーはどう変化するか？
21
熱、粒子の流れの密度



q  nT  nVT



  Dn  nV
第１項を熱あるいは粒子拡散、第２項を対流移動という
係数は熱伝導係数、粒子拡散係数
輸送係数の次元は？
22

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