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第５章流体の連続の式とベルヌーイの式
５.1 流体運動の記述 136
５.2 直交座標系における連続の式 137
5.2.1 ２次元非定常，圧縮性流体の場合 137
5.2.2 ３次元非定常，圧縮性流体の場合 139
5.3 円筒座標系における軸対称流れの連続の式 139
5.4 ベルヌーイの定理 140
5.4.1 エネルギ保存とベルヌーイの式 140
5.4.2 傾斜管内の流体のエネルギ 143
5.4.3 エネルギ損失を伴う流れ 144
5.5 ベルヌーイの定理の応用例題 144
第5章総合演習問題 150
第5章演習問題・研究課題などの解答 151
2015/9/30
熱流体力学第5章
1
５.1 流体運動の記述
☆任意点（ｘ，ｙ，ｚ）における速度ベクトルを
V,速度ベクトルVの各軸方向速度成分を
u，ｖ，ｗ，任意点（ｘ，ｙ，ｚ）における圧力，
密度，温度をそれぞれｐ,ρT として
１）非定常，圧縮性3次元流れ
u  f ( x, y, z, t )
v  f ( x, y, z, t )
w  f ( x, y, z, t )
P  f ( x, y, z, t )
  f ( x, y, z, t )
T  f ( x, y, z, t )
V
z
w
v
y
２）非定常，圧縮性2次元流れ
u
任意点（ｘ、ｙ、ｚ）における
速度Ｖ＝ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）
どうなるかな？
３）定常，非圧縮性３次元流れ
x
解答例：
u  f ( x, y, t )
各自埋めること
２）
４）定常，非圧縮性2次元流れ
３）
各自埋めること
2015/9/30
熱流体力学第5章
P  f ( x, y, t )
v  f ( x, y, t )
  f ( x, y, t )
T  f ( x, y, t )
u  f ( x, y, z )
v  f ( x, y, z )
w  f ( x, y, z )
P  f ( x, y, z )
  一定
T  f ( x, y, z )
2
☆5.1 流体運動の記述の研究課題
１．直交座標系（ｘ，ｙ，ｚ）において，流れ場の速度ベク
トルVがV=f(x,y,z,t)で表される時，その速度成分，
(u,v,w)，圧力P，密度ρ，温度Tが以下の条件では
どのように表されるか考えよ。
１）定常３次元圧縮性流れでは，u,v,w,P,ρ,Tはそれぞ
れ座標系(x,y,z)に対してどのように記述できるか。
２）定常２次元圧縮性流れでは， u,v,w,P,ρ,Tはそれ
ぞれ座標系(x,y,z)に対してどのように記述できる
か。
３）定常非圧縮性２次元流れは， u,v,w,P,ρ,Tはそれ
ぞれ座標系(x,y,z)に対してどのように記述できる
か。
2015/9/30
3
熱流体力学第5章
5.2 直交座標系における連続の式
(Low of Continuity)
5.2.1 ２次元非定常，圧縮性流れ
１）ｘ方向のｄｔ時間における流体の流入量は
udydzdt
２）ｘ方向のｄｔ時間における流体の流出量は
u
( u 
dx )dydzdt
x
差し引き要素dxdydzにｄｔ時間に滞留する質
量は（流入量－流出量）
u

dxdydzdt
x
３）y方向のdt時間における流体の流入量は
v 
y
ｄz
u 
u
dx
x
ρｕ
ｄy
vdxdzdt
ρv
ｄｘ
４）y方向のdt時間における流体の流出量は
v
( v 
dy)dxdzdt
y
2015/9/30
 v
dy
y
z
熱流体力学第5章
ｘ
4
5.2.1 ２次元非定常，圧縮性流れ(続き）
差し引き要素dxdydzにdt時間に滞留する質量
は（流入量－流出量）
v

dxdydzdt
y
ゆえに，微小体積dxdydzに残る質量は
u
v

dxdydzdt 
dxdydzdt
x
y
５）この質量増加または減少によって，微小要
素内の流体の密度が変化し，その変化量
は，密度をρとすれば，
v 
y
ｄz
u 
ｄy
ρv
となる。この密度変化と微小要素の単位体
積，時間当たりに残留する質量は等しいは
ずであるから，次式が成り立つ。
６）以上の考え方から，結論として，２次元圧縮
性非定常流体の連続の式は
2015/9/30
熱流体力学第5章
u
dx
x
ρｕ

dxdydzdt
t

u
v
dxdydz 
dxdydzdt
dxdydzdt
t
x
y
 v
dy
y
ｄｘ
重要な
結論
ｘ
z
 u v


0
t
x
y
5
☆5.2 直交座標系における連続の式の演習問題
１．つぎの表の連続の式に関する空欄を全て埋めよ。ただし，(x,y,z)方向速
度成分を，(u,v,w)，密度をρ，時間をｔとせよ。
ヒント：定常とは f t  0 を意味する。非圧縮とはρ=一定を意味する。
形
式
非定常・圧縮性
1次元
 u

0
t
x
2次元
 u v


0
t
x
y
3次元
定常・圧縮性
定常・非圧縮性
 u v w



0
t
x
y
z
２．１次元，定常・圧縮性流れでは，圧力はｘ方向にどのような変化をすると
予想されるか考察せよ。ただし，ｘ方向に流れが加速している場合を想
定しなさい。
2015/9/30
熱流体力学第5章
6
☆ 5.3 円筒座標系における軸対称流れの
連続の式(研究課題)
☆続いて，右図に示すように，半径
方向をｒ，その速度成分をVr，流れ
方向をZ，その速度成分をVzとする
円筒座標系（ｚ，ｒ，θ）を考える。
Vr 
V z
ｄｒ
ここでは第１段階としてθ方向の速
度成分VθがVθ=0である，軸対称
流れの場合における連続の式を導
いてみる。
ｒ
１）ｚ方向にdt時間に流入する流体の質量は
？
２）ｚ方向にｄｔ時間に流出する流体の質量は
？
３）差し引き微小要素に残留する質量は
？
2015/9/30
Vr
dr
r
V z
V z 
dz
z
r方向
熱流体力学第5章
V r
z方向
ｄz
7
☆ 円筒座標系における軸対称流れの
連続の式(研究課題)(続き）
同様にして
４）方向に時間に流入する流体の質量は
？
５）方向に時間に流出する流体の質量は
Vr
dr
r
V z
V z 
dz
z
r方向
Vr 
V z
ｄｒ
ｒ
６）差し引き微小要素に残留する質量は
V r
z方向
７）微小要素の全体積は
８）微小要素内の流体のｄｔ時間における質量
変化は，密度をρとして表せば
９）以上から，円筒座標系における軸対称，
非定常圧縮性流体の連続の式が結論と
して以下の式で表されることを，これまで
の結果を使って，証明しなさい
 1 Vr r  V z


0
t r r
z
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ｄz
重要な結論
だよ
 1 Vr r  V z


0
t r r
z
熱流体力学第5章
8
5.4 ベルヌーイの定理
5.4.1 エネルギ保存とベルヌーイの式
☆ベルヌーイ（Bernoulli）の式とは：
非圧縮性(密度ρ=一定)，定常流（∂f/∂t=0）れにおけるエネル
ギ保存関係を表した式である。
断面積A1
圧力P1
平均速度V1
Z=Z1
断面積A3
圧力P3
平均速度V3
流体の密度ρ
体積流量Q(m3/s）
Z=Z3
断面積A2
圧力P２
平均速度V２
Z=Z2
基準面Z=0
具体的には：
運動のエネルギ＋位置エネルギ＋圧力伝達仕事＝一定
9
5.4.1 エネルギ保存とベルヌーイの式(続き）
１．非圧縮・定常･1次元の連続式
質量流量ρQ(＝密度×体積流量)
(kg/s)が保存されるから，連続の式
は次のようになる。
Q  A1V1  A2V2  A3V3  Const
断面積A1
圧力P1
平均速度V1
断面積A3
圧力P3
平均速度V3
２．ベルヌーイの式
位置①，②，③における流体の
エネルギとして，運動のエネル
ギ，位置エネルギおよび圧力伝
達仕事が考えられ，それらの和
が保存されると考える。
Z=Z1
流体の密度ρ
体積流量Q(m3/s）
断面積A2
圧力P２
平均速度V２
Z=Z3
Z=Z2
基準面Z=0
運動のエネルギ＋位置エネルギ＋圧力伝達仕事＝一定，すなわち
1
1
1
QV1 2  QgZ 1  P1 A1V1  QV 2 2  QgZ 2  P2 A2V2  QV 3 2  QgZ 3  P3 A3V3  一定
2
2
2
1
重要な結論
QV 2  QgZ  PAV  一定
これを一般化すれ
2
ば，
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10
5.4.1 エネルギ保存とベルヌーイの式(続き）
★一般化した次式
ベルヌーイの式の別表現
1
QV 2  QgZ  PAV  一定
2
1 2
P
V  gZ   E (const)
2

の両辺をρQg=ρｇAVでわり，右辺の
一定となる値を記号H（ｍ）とおくと，
V2
P
Z 
H
2g
g
V2/2：比運動エネルギ (J/kg)
ｇZ：比位置エネルギ (J/kg)
P/ρ：比圧送エネルギ (J/kg)
E：比エネルギ（＝ｇH)(J/kg)
V2/2g：速度水頭（velocity head）または速度ヘッド (ｍ)
Z：位置水頭（potential head）または位置ヘッド (ｍ)
P/ρg：圧力水頭（pressure head）または圧力ヘッド (ｍ)
H：全水頭（total head）またはトータルヘッド
(ｍ)
2015/9/30
熱流体力学第5章
11
☆コーヒーブレイク：ヘッドについて考える。
★ヘッドは高さ(長さ）の単位だから深さや高さを示すに決まっ
ていると思うことなかれ。
★例えば，圧力の単位にmmAqやmmHgがあった。これも高
さで表された。
★もうひとつはベルヌーイの式におけるヘッド，すなわちエネル
ギの考え方である。これも高さ(長さ)の単位となっている。
★ヘッドとは「単位重量の流体が輸送するエネルギの尺度すな
わち仕事量」ということであり，それを単位で表せば，
kgf・m/kgfとなるのだ。この物理量は高さで表現できるとい
うことだ。
★例えば流体の速度が5m/sならば，速度ヘッド（V2/2g）は
(V 2 2 g )  (52 2  9.8)  1.2m
という，高さに相当するのだ。
2015/9/30
熱流体力学第5章
12
☆工学へのベルヌーイの定理の応用
１．貯水ダム
貯水ダムに蓄えられた水の位置ヘッド，速度ヘッドおよび圧力ヘッドは，摩擦によるエ
ネルギ損失が無視される場合，発電部に向かって図に示されるように変化する。
貯水ダム
全
水
頭
導
水
管
発電部
放水路
地表基準面
速度（エネルギ）ヘッド
ベルヌーイの式
2
V
P
Z 
H
2g
g
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発電仕事
全
水
頭
圧力（エネルギ）ヘッド
位置（エネルギ）ヘッド
熱流体力学第5章
13
☆工学へのベルヌーイの定理の応用
２．傾斜管路内の流れ
点A
点B
点C
V2
P
Z 
H
2g
g
5.4.3 エネルギ損失を伴う流れ
実際の流れは，必ずエネルギ損失
を伴う。上流側①（圧力P1，速度V1，
高さZ1）と下流側②（圧力P2，速度
V2，高さZ2）において，エネルギ損失
を伴う流れに対してベルヌーイの式
を適用し，エネルギ式を立てれば，
2
圧力ヘッド
速度ヘッド
トータルヘッド
位置ヘッド
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2
V1
P V
P
 Z1  1  2  Z 2  2  H
2g
g 2 g
g
ΔH：損失ヘッド（loss of head）と
呼び，2点間で失われるエネルギ損
失をヘッド（ｍ）の形で与えたことを
意味する。
熱流体力学第5章
14
5.5 ベルヌーイの定理の応用例題
Ａ）ピトー管
★ピトー官（Pitot tube）とは：流
体の速度を測定する器具。図に示
すように，未知の流れの圧力を計
測するための小孔①，②を２つ設
け，2つの圧力差をU字管マノメー
タなどで計測する装置。
速度V
よどみ
点①
P2
U字マノメータ
速度V2
動圧孔
★速度測定原理
静圧孔②
P1
動圧
ベルヌーイの式から ①，②の位置で
は P1 1 2 P2 1 2
g

2g
V1 
g

2g
V2
ところで，①の位置（よどみ点stagnation point) ）では，流体は静止しており，そこで
は速度V1=0だから
P1 P2 1 2

 V2 であり，未知の流体の速度Vは V  V  2 P  P 
2
1
2

 2

1
1
2
V2 2  ( P1  P2 ) V2 ：動圧（kinetic pressure）
2
2
：全圧（total pressure），
P1

P2 ：静圧（static pressure）
Ｂ）タンクから流出する噴流の速度
★水位が一定であるタンクの側壁に設けられた小孔から噴出する噴流の速度
を求めてみる。この場合，図に示した位置①と②にベルヌーイの定理を適用す
2
2
れば，
V
P
V
P
1
2g
 Z1 
0
g

2g
 Z2 
2
g
ここで，位置①では流体は静止していると考え，速度V1=0。位置②では圧
力が大気圧，すなわちP2=P0と考える。
すると，小孔からの噴出速度Vは，
V2
 g Z1  Z 2 
2
となる。したがって，墳出速度は
V  2gZ1  Z 2   2gH
圧力P 0
①
流体密度
ρ
H
Z1
②
タンクから流出する流量Qは
Q  CAV  CA 2gH
ここで，C:流量係数（C<1.0)
墳出速度V
Z2
基準面
16
Ｃ）ピストンから流出する噴流の速度
①
★位置①，②にベルヌーイの式を
適用すると，高さZ1=Z2であるから
2
力Ｆ
2
V1
P V
P
 1  2  2
2 g g 2 g g
②
V1
ｄ
V2
Ｄ
密度ρ
ところで，液体を圧縮する圧力P1は
F
P1 
D 2 4
一方，圧力P2は大気中に噴出するからＰ２＝０（ゲージ圧力）とみなす。すると，位置
①，②におけるベルヌーイの式は
2
2
V1
V2
4F


2 g D 2 g 2 g
さて，流体は非圧縮性と仮定すれば，体積流量Ｑ(m3/s)が保存されるから
d2
D 2
d 2
V1  2 V2
Q
V1 
V2 ゆえに，
D
4
4
2015/9/30
熱流体力学第5章
17
Ｃ）ピストンから流出する噴流の速度(続き）
この関係を代入して整理すれば，
ピストン出口の速度V2は
2
2
V2
1 d  2
4F
 2  V2 

これを整理し
2g 2g  D 
D 2 g
て，
2
V2 
2
V2
2g
  d 4 
4F
1     
2
  D   D g
8F
D2  (1  (d / D) 4 )
ここで，開口面積比を， m  d D
2
①
②
断面積を A  D 2 4 とおけば，
噴出速度V2はつぎのように簡略化
力Ｆ
ｄ
Ｄ
V2
密度ρ
して表せる。
 
V2  2 F A 1  m 2
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V1

熱流体力学第5章
18
Ｄ）ベンチュリ管（その1）
★ベンチュリ管（Venturi meter）
とは；図のように流れ方向に流路が
縮小，拡大する装置を意味し，流量
測定装置として利用できる。なお，
図の最小断面②の位置をのど部 d
（throat）という。
H1
H2
P1
1
V1
P2
V2
d2
ベンチュリ管が水平に置かれているこ
②
①
とに注意して，位置①および②にベル
ヌーイの式を適用する。
2
2
さて，流体が非圧縮性であれば体積流量Q(m3/s)が保
V1
P1 V2
P2



存されるので，流量の保存式はつぎのようになる。
2 g g 2 g g
さらに，位置①および②の流路断面積を，A1,A2とすれ
d1 2
d 2 2
ば
Q
V1 
V2
4
4
Q  A1V1  A2V2
2015/9/30
∴
V1 
A2V2
A1
熱流体力学第5章
19
Ｄ）ベンチュリ管(その２）
これをベルヌーイの式に代
入して，のど部の速度V2は
H1
H2
2
2
V2
1  A2V2 
1

 
P1  P2 

2 g 2 g  A1 
g
d1
2
2
V2   A2   1
1      P1  P2 
2   A1   


∴
V2 
2( P1  P2 )
  A 2 
1   2   
  A1  
Q  A2V2 
A 
1   2 
 A1 
2
d2
②
となる。したがって，体積流量Q=A1V1=A2V2より，

実際には①および②の間ではエネルギ損失が
あるので，流量係数をCとして，流量Q は
Q  CA2V2 
2( P1  P2 )
CA2
A 
1   2 
 A1 
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V2
P2
①
2( P1  P2 )
A2
V1
P1
2

C：実験的に求められる定数 0.96＜C＜0.99
20
Ｅ）三角せき（ノッチ）
１）各種せき
・三角せき
・四角せき
三角せき
四角せき
ｙ
２）三角せきにおける流量
せきの任意位置y=yにおける流
体の速度Vは，タンクから流出す
る噴流の場合と同様にして
θ
b(y)
水表面
dyｄy
H
H
せき上の速度V
yy
V  2 g ( H  y)
三角せきの微小幅dyにおける体積流量
ｄQは，横幅b(y)をとすれば
三角せき
dQ  Vb ( y)dy
2015/9/30
熱流体力学第5章
21
２）三角せきにおける流量（その2）
ｙ
ここでせきの横幅
b(y)は，三角せき
の開口角度をθとす
るとき，
b( y )  2 y tan
θ
b(y)
水表面
dyｄy
H

H
2
せき全体の体積流量
Q(m3/s)は
H
三角せき
Q   dQ   Vb ( y )dy  
0
せき上の速度V
yy
H
0
2 g ( H  y ) 2 y tan

2
dy
この式の積分を実行すると，結論として次式がえられ
る。
Q
8
 
tan  2 g H 2.5
15  2 
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この式を導きなさい
熱流体力学第5章
22
第５章総合演習問題（その１）
②
１．直径３インチの水平管路内を圧力
①
5.68(N/cm2)の水が毎秒6.3リットル
出口断面積A
流体密度ρ
流れている。その管路の直径が１イ
のど部断面積A
ンチになっている点の圧力はいくらか。
２．図のような構造の噴霧器に
H
大気圧
おいて，のど部断面積をA1，出口
断面積をA2，空気の体積流量をQとし
液体密度ρ
たとき，容器内の液体がのど部まで
吸い上げられる最大高さＨの式を求
めよ。
噴霧器の吸い込み圧力
３．風速30m/sをピトー管によって測定する場合，全圧と静圧の差（動圧）を
求めるために使用したＵ字管内のアルコール（比重0.8）の液面高さの差
は何mmとなるか。ただし，空気の密度を1.2kg/m3として計算せよ。
４．風速を測定するピトー管において，動圧が65mmAqであった。空気の密
度を1.2kg/m3として，風速を計算せよ。
2
1
１
2015/9/30
熱流体力学第5章
23
第５章総合演習問題（その２）
５．時速200kmの列車の速度をピトー管によって測定する場合，動圧は水柱で
何mmAqであるか。またそれは水銀柱では何mmHgか。ただし，空気の密
度は1.2kg/m3，水銀の比重は13.6とする。
６．ベンチュリ管において，入口と，のど部の内径はそれぞれ，120mm，40mm
であり，圧力差を測定するU字管内の水銀は液面の差が150mmHgであっ
た。管内を流れる水の流量はいくらか。ただし流量係数はC=0.96とせよ。
７．時速600kmの速度で飛行する航空機に取り付けられたピトー管速度計には
差圧何mmAqもしくは何Paが生じるか。ただし，気体の温度は－10℃，気圧
は84kPa（630mmHg）の高度を飛行しているものとする。
８．開口角度θがθ=90°の三角せきにおいて，水面高さが20cmのとき体積流
量はいくらか。ただし，水はノッチ全面を完全に落下速度で流出する際の流
量よりも縮流して，58％になるものと仮定する。
９．中心気圧が922ミリバールの台風がきた。台風の中心最大風速はほぼいく
らとなるか。遠方大気圧との圧力差が速度に変換されるものとみなして計算
せよ。ただし，空気の密度は1.293kg/m3とする。
2015/9/30
熱流体力学第5章
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