動的つりあい

工業力学補足・復習スライド
Industrial Mechanics
第11回：運動量と力積
おさらい
回転体のつりあい
 固定軸につけられた物体が回転すると遠心力が発生する．
この遠心力がうまくつりあわないと振動，騒音，摩耗の
原因となり，製品にとってよろしくない．
 これを防ぐには，物体各部に作用する遠心力がつりあって
いる必要がある．
 考慮しなくてはならないつりあいは 2つある：
 静的つりあい：
 遠心力自体がつりあう
 動的つりあい：
 遠心力がつくりだすモーメントがつりあう
静的つりあい
 物体上の各部位に作用する遠心力のつりあい
 物体上の微小部位の水平位置を (𝑥, 𝑦)T ，その軸との距離を
𝑟 = 𝑥 2 + 𝑦 2 ，微小質量を 𝑑𝑚 とするとき，角速度を 𝜔 と
すると，遠心力の大きさは 𝐹 = 𝑑𝑚 𝑟𝜔2 ．ベクトルでは，
𝑭 = 𝑑𝑚 𝑟𝜔2
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑥
2 𝑥 𝑑𝑚
= 𝑑𝑚 𝜔 𝑦 = 𝜔
．
𝑦 𝑑𝑚
 よって遠心力の合力は
𝑥 𝑑𝑚
𝑀𝑥G
2
2
𝑹=𝜔
=𝜔
𝑀𝑦G
𝑥 𝑑𝑚
2
= 𝜔2 𝑀𝒙G .
静的つりあい
 𝑹=
𝜔2
𝑥 𝑑𝑚
𝑥 𝑑𝑚
=
𝜔2 𝑀
𝑥G
2 𝑀𝒙 .
=
𝜔
G
𝑦G
 板の全質量が重心に集中した場合の遠心力の式
 遠心力の合力 𝑹 をゼロにするには，全体の重心 𝒙G を原点
つまり軸上に持ってくればよい．
 軸上にこういう板が複数ついて
いる場合は，それら全体の
重心を軸上に持ってくれば
よい．
 つまり，軸の付属物全体の
重心を軸に持ってくる設計
が必要．
動的つりあい
 右図のように，軸受けで固定された
回転軸に質量が 2つとりつけられて
いるとする．
軸受け
軸受けとは (Wikipedia)
軸受（じくうけ）とは機械要素のひとつで、回転や往復運動
する相手部品に接して荷重を受け、軸などを支持する部品で
ある。
http://gamette.blog4.fc2.com/blog-entry-6.html
動的つりあい
 右図のように，軸受けで固定された
回転軸に質量が 2つとりつけられて
いるとする．
 2つの質量の重心は軸上なので，
静的つりあいは OK．だが…
 回転させたときに発生する遠心力は
この軸を，軸と直交する方向に回転
させるモーメントを発生させる．
 これが軸受けを押し，製品全体を
振動させる．
 このモーメントもゼロにしたい
 動的つりあい
軸受け
動的つりあい
𝑭2
𝑎2
と表される．
(つまり右図では成り立たない)
𝑎1
 各力のモーメントアームを右図の
ように設定する．
𝑭1
 基準点 (右図では下の軸受け) の
位置は，静的つりあいが成り立って
いる場合はどこにおいてもよい
 この場合，モーメントのつりあいは
𝐹1 𝑎1 − 𝐹2 𝑎2 = 0
回転体のつりあい
 総合的に考えると，
図のようになる．
 静的つりあい：
𝑚𝑖 𝑥𝑖 = 0,
𝑚𝑖 𝑦𝑖 = 0.
 動的つりあい：
𝑎𝑖 𝑚𝑖 𝑥𝑖 = 0,
𝑎𝑖 𝑚𝑖 𝑦𝑖 = 0.
𝑥𝑖
𝑭𝑖 =
𝑖 𝑦
𝑖
𝑁𝑖𝑥 = 𝑎𝑖 𝜔2 𝑚𝑖 𝑦𝑖
𝑁𝑖𝑦 = −𝑎𝑖 𝜔2 𝑚𝑖 𝑥𝑖
𝜔2 𝑚

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