材料力学 II 中間試験 2015.6.1 実施【１】考えている物体の体積を V ，表面積を S ，物体表面面素に立てた単位法線ベクトルを n j ，応力テンソルを ! ij ，物質点の変位を ui ，ひずみテンソルを ! ij と表し，仮想（架空の）量の前には記号 ! を付けて表現するものとする．以下の問いに答えよ．（１）物体が表面力 Ti （単位面積当たり）と物体力 fi （単位体積当たり）を受けて静止状態にある．Newton の第２運動法則を元に静的問題に対する「応力の釣合いの式（平衡方程式）」を誘導せよ． [10 点] （２）応力テンソルが対称（ ! ij = ! ji ）である理由を述べよ． [10 点] （３）物体が表面力 Ti を受けて釣合っている状態にあるとする（物体力は無視する）．今，その状態からさらに任意の仮想変位 ! ui を加えたときの仕事（仮想仕事）を想定することを出発点として，「仮想仕事の原理式」を誘導せよ． [10 点] （４）架空の表面力 ! Ti が実変位 ui と協働してなす仕事（補仮想仕事）を想定することを出発点として，「補仮想仕事の原理式」を導け（架空の物体力は考えないものとする）． [10 点] （５）はりの力学問題において，任意の１点のたわみ（変位）（ ! ）を求めるための「ダミー荷重法」として知られる式を，補仮想仕事の原理に基づいて誘導せよ．ただし，はりの長さ方向に沿って座標 x1 をとり，架空のダミー荷重によって生じる曲げモーメントを m(x1 ) ，実荷重によって生じる曲げモーメントを M (x1 ) とし，はりの全長は L であるとする．また，はりはヤング率 E の線形弾性体でできており，断面二次モーメントは I で与えられるものとする． [10 点] 【２】下記のはりの問題を，補仮想仕事の原理（ダミー荷重法）を用いて解け．解法の手順が分かるように解答せよ．ただし，はりの曲げ剛性 EI は一定とする．（１）下図に示す等分布荷重 w1 を受ける長さ L の片持ちはりの (a) 先端 A のたわみ !A , ならびに，(b) 先端 A のたわみ角 ! A （符号の定義，回転の方向等を明確にすること），を求めよ． [30 点] L w1 A B （２）下図に示すような上端部に集中荷重 Q1 を受ける支間長 L のコの字型はりの (a) 点 C の垂直方向たわみ !C ，ならびに，(b) 支点 A のたわみ角 ! A （符号の定義，回転の方向等を明確にすること），を求めよ. [20 点] 材料力学 II 2015 中間試験解答例【１】についての解答は，テキストの本文にあるので，ここへの記載は省略する．【２】（１）先端 A から右向きに x 座標をとるものとし，右側断面で反時計回りの曲げモーメントを正とする．実荷重による曲げモーメント： M = ! w1 2 x 2 先端 A に下向きにダミー単位荷重を付加した場合の曲げモーメント： m = !x 先端 A に時計回りにダミー単位モーメントを付加した場合の曲げモーメント： m = 1 以上より， !A = * L ( "x ) # $&% " 0 w1 2 ' x ) 2 ( EI dx = 4 w1L ; 8EI !A = * L 0 $ w ' 1# & " 1 x 2 ) % 2 ( w L3 dx = " 1 （負＝反時計回り）． EI 6EI （２）題意より，架空荷重として，点 C にダミー単位荷重，支点 A にダミー単位モーメントを考えることになる．いずれの架空荷重もはりの AB 区間以外に曲げモーメントを発生させない．よって，本問題においては，AB 区間のみにおける積分計算を考慮すればよいことになる（∵ 架空荷重による曲げモーメント m が零である区間は，実荷重による曲げモーメント M との積が零になるので，長さに沿う積分もゼロになる．）実荷重による反力を計算すると，支点 A,B ともに上向きに Q1 / 2 の反力が生じる．支点 A から右向きに x 座標をとるものとし，右側断面で反時計回りの曲げモーメントを正とすると，実荷重による AB 区間の曲げモーメントは， M = Q1 x と求まる． 2 点 C にダミー単位荷重（下向き）を作用させたときの曲げモーメントは， i) 0 ! x ! L / 2 ii) L / 2 ! x ! L 1 x, 2 1 L m=" x+ . 2 2 m= よって， !C = ) L 2 0 L % " Q1 % " 1 % " Q1 % " 1 $# x '& ( $# x '& $ * x + '& ( $# x '& L # Q L3 2 2 2 2 2 dx + ) L dx = !! = 1 0 EI EI 32EI 2 支点 A にダミー単位モーメント（時計回り）を作用させたときの曲げモーメントは， m = 1! 1 x L よって， !A = ) L 0 " 1 % " Q1 % $# 1! x '& ( $# x '& Q L2 L 2 dx = !! = 1 （正＝時計回り） EI 12EI