平成 27 年 5 月 7 日公共経済分析 I 第１回宿題 5 月 28 日（木）の講義中に回収問 1（15 点各 5 点）：ある財貨市場ｘにおける消費者の限界便益（効用・ニーズ）と生産に係る限界費用が下記のように与えられているとする。（1.1） MB = α − βx MC = γx ただし、α、β、γは外生的に与えられたパラメータとする。（１）ｘ財に係る社会的余剰（＝便益マイナス費用）を最大にしているｘの水準を求めよ x 財の価格をｐとおく。市場の需要関数、供給関数を求めよ（２）市場均衡（部分均衡）を導出せよ。ｘの均衡水準を（1）の解と比較せよ（３）市場で実現する「消費者余剰」、「生産者余剰」を計算せよ。解答： MB = α − βx = γx = MC ⇒ x * = （１）（２） MB = α − β x = p ⇒ D( p ) = MC = γx = p ⇒ S ( p ) = （３）（４） D( p) = α β +γ α−p β p γ α − pe pe αγ = = S ( p) ⇒ p e = , β γ β +γ xe = 1 e 1 α  αγ e 消費者余剰＝ x × α − p =  α − 2 2 β +γ  β +γ ( ) 1 e γ α e 生産者余剰＝ x × p =  2 2β +γ    α β +γ  β α  =   2 β +γ    2 2 問 2（10 点各 5 点）：問 1 の（1.1）式にある財貨ｘに対する消費者の限界便益と生産者の限界費用を想定する。このｘ財の消費に伴い次のような「限界的外部コスト」が生じてい 1 るとする（2.1） MEC = φ （＞0）（１）社会的余剰を最大化する効率的なｘ財の生産量と最大化された社会的余剰を計算せ。よ（ヒント：社会的限界費用＝ PMC + MEC ）（２）外部コストがあるときの効率性のロスを計算せよ解答 α − βx ** = γx ** + φ ⇒ x ** = （1） α −φ β +γ  1 e 1 φ2  ( x − x ** )φ =  2 2  β + γ + µ  （２）問 3（10 点各 5 点）：問１の（1.1）式にある財貨ｘに対する消費者の限界便益と生産者の限界費用を想定する。このｘ財の消費に伴い次のような「限界的外部コスト」が生じているとする：（3.1） MEC = φ + µx （＞0）（１）社会的余剰を最大化する効率的なｘ財の生産量と最大化された社会的余剰を計算せ。よ（ヒント：社会的限界費用＝ PMC + MEC ）（２）外部コストがあるときの効率性のロスを計算せよ解答（１）（２） α − βx ** = γx ** + (φ + µx * ) ⇒ x ** = α −φ β +γ + µ 1 e 1 α α − φ  αµ  φ + − ( x − x ** )(φ + µx e ) =  2 2  β + γ β + γ + µ  β +γ    問 4（15 点各 5 点）：ある財貨市場ｘにおける私的限界便益と私的限界費用が下記のように与えられているとする。（4.1） PMB = α − βx PMC = γx ただし、α、β、γは外生的に与えられた正のパラメータとする。このｘ財の消費に伴い 2 次のような「限界的外部コスト」が生じているとする：（4.2） MEC = φ （＞0）（1）（4.2）式で与えられた外部費用を内部化するよう政府は「ピグー税」を課すとする。効率的な資源配分を実現するために必要な税率（財一単位あたり）を求めよ（2）ピグー税を課した後の消費者余剰、生産者余剰、外部コスト、政府の税収の変化額を求めよ。（3）パレート改善が必要な所得補償額を説明せよ解答：（1） t = φ （財一単位あたりの税額）（2）消費者余剰の変化＝ − ＝− 生産者余剰の変化＝ − ＝− 1 β α − βx ** − α − βx e × ( x ** + x e ) = − ( x e − x ** )( x e + x ** ) 2 2 ( ( φ β 2 (β + γ ) 2 ( )) (2α − φ ) ) 1 γ x e − x ** × ( x ** + x e ) 2 φ γ 2 (β + γ ) 2 政府税収の変化＝ tx ** = φ (β + γ ) (2α − φ ) (α − φ )  α α −φ  φ2  = − − β +γ β +γ β +γ  外部コストの変化＝ − φ ( x e − x ** ) = −φ  問 5（15 点各 5 点）：ある共有地（例：漁場）について考える。その共有地を利用する人数（投入される労働量）を N, 産出量（例：漁獲高）を Y とする。アウトプットの価格は１に基準化しておく。利用者各々の利得は Y/N に等しい。この経済全体の労働量は N で与えられる。（5.1） Y = AN α （A>0, 0＜α＜1）共有地に代えて市場で労働を提供したときの賃金率＝労働の生産性は W で一定と仮定する。（１）共有地と市場との間で労働配分を効率的にする利用人数 N * を求めよ。（２）個人が自由に共有地に入れるときに実現する均衡利用人数 N e を求めよ。（３） N * と N e を比較せよ。 3 解答：（１）（２） d  αA  Y = αAN α −1 = W ⇒ N * =   dN W  Y  A = AN α −1 = W ⇒ N e =   N W   A Ne =  W  （3） 1 /(1−α )  αA  > N* =   W  1 /(1−α ) 1 /(1−α ) 1 /(1−α ) 問 6（20 点各 5 点）：二人の消費者 A,B が私的財ｙと公共財 X を消費しているとする。各消費者の効用関数は次のように与えられているとしよう：（6.1）（6.2） U A = X + α ln y A U B = X + β ln y B j 各消費者の所得は I （ｊ＝A,B）で与えられている。公共財供給の限界費用はｃで一定としよう。各消費者の公共財への拠出（自発的生産）を x j とすれば、その予算制約式は（6.3） cx j + y j = I j （ｊ＝A,B）に等しい。ただし、 X = x A + x B 。（１）個人 B の拠出 x B を与件としたときに個人 A が選択する拠出量 x *A を求めよ。（２）個人 A の拠出 x A を与件としたときに個人 B が選択する拠出量 x B* を求めよ。（３）この公共財供給ゲームの非協力（ナッシュ）均衡における公共財供給量 X と各消費者の拠出 x j を求めよ。ただし、どちらの消費者もプラスの拠出をする「内点解」を仮定しても構わない。（４）仮に個人 A から個人 B に一定額（1 万円）の所得移転を行ったとき、各個人の公共財の拠出 x j はどれくらい変わるか、公共財供給量 X の変化について述べよ。解答：（１） 1 α α IA A * * = = A ⇒ I − cx = c α ⇒ x = −α A A c y A I − cx *A c 4 1 β IB β * * B （2） = = ⇒ I − cx B = cβ ⇒ x B = −β c y B I B − cx B* c （3）均衡量＝ x *A + x *B = （4） ∆x *A = − ∆I ； c IA +IB − (α + β ) c ∆x B* = ∆I ； c ∆X = ∆x *A + ∆x B* = 0 問 7（15 点各 5 点）：「混雑現象」を伴う次のような準公共財 X が供給されているとする。個人は皆同じ効用関数、所得 I を有していると仮定しよう。個人の効用関数は (7.1) U = α ln X + y で与えられる。一人当たり均等に公共財費用を負担するとすれば、予算制約式は (7.2) C( X , N ) / N + y = I ただし、準公共財の供給費用は (7.3) C ( X , N ) = cX α N β + F F > 0 c, z > 0, β > 1 N は消費者（利用者数）である。 (1) 所定の N に対して「効率的」な公共財の水準を求めよ。 (2) 所定の X に対して「効率的」な利用者数（クラブ規模）を求めよ (3) 効率的な X 及び N の水準を算出せよ解答：（1） Max{ X }U = α ln X + I − ⇒ α 1 (cX α N β + F ) N = cαX α −1 N β −1 X  1  ⇒ X =  β −1   cN  1/ α * （２） 5 Max{ N }U = α ln X + I − ⇒ 1 (cX α N β + F ) N F = ( β − 1)cX α N β − 2 2 N   F  ⇒ N =  α   ( β − 1)cX  1/ β * （3） X α  1  =  β −1  =  cN  1  ( β − 1)cX α  c  F    ( β −1) / β c1−1 / β  β − 1  =   c  F  ( β −1) / β X α (1−1 / β ) ⇒ X α /β 1  β −1 = 1/ β   c  F  ( β −1) / β ⇒ 1 X =  c  * 1/ α  β −1    F   F   N =   ( β − 1)c  * 1/ β ( β −1) / α (X ) * −α / β  F   =   ( β − 1)c  6 1/ β c 1/ β  F     β −1 ( β −1) / β = F β −1