7. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 3 (LA)

PD Dr. F. Klinker
Dr. A. Kayacelebi
WiSe 2015/16
7. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 3 (LA)
Aufgabe 1 (3+2+2+2 P.)
a) Es sei Φ : R2(u,v) → R2(x,y) mit det(DΦ(u, v)) 6= 0 mit Ausnahme auf höchstens einer
Nullmenge. Weiter sei α : I → R2(u,v) eine Kurve, die auf dem Intervall I ⊂ R definiert
ist. Zeigen Sie, dass die Länge der Kurve γ : I → R2(x,y) mit γ = Φ ◦ α durch
Z
L(γ) =
s
2
∂Φ 2
(α0 (s))2 + ∂Φ (α0 (s))2 + 2 ∂Φ , ∂Φ α0 (s)α0 (s) ds
1
2
1
2
∂u ∂v ∂u ∂v
I
gegeben ist.
b) Spezialisieren Sie die Formel für den Fall Φ(u, v) = (u cos(v), u sin(v)).
c) Berechnen Sie für Φ aus b) die Länge der Kurve γc , die durch αc : [0, c] → R2(u,v) mit
αc (s) = (e−s , s) definiert ist.
d ) Berechnen Sie ebenfalls lim L(γc ) und skizzieren Sie die Kurve γ∞ .
c→∞
Aufgabe 2 (9 P.)
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die folgenden Mengen im R3 begrenzt
wird
(x, y, z)x2 + y 2 = 8z ,
(x, y, z)x2 + 4y 2 = 1 , {(x, y, z)|z = 0} .
Skizzieren Sie die Mengen und den Körper.
Aufgabe 3 (12 P.)
Betrachten Sie ein zylindrisches Becherglas, dessen Achse um den Winkel τ zur Waagerechten geneigt ist. In dem Becherglas befinde so viel Wasser, dass vom Boden ein Kreisabschnitt
mit Mittelpunktswinkel 2δ nicht bedeckt ist. Geben Sie das Volumen der Wassermenge in
Abhängigkeit vom Radius des Becherglases an.
Aufgabe 4 (5 P.)
Z
a) Berechnen Sie
(x2 + y 2 ) d2 (x, y), wobei M von den folgenden Teilmengen des R2
M
begrenzt wird
{(x, y) | x = 0} ,
{(x, y) | y = 1} ,
{(x, y) | x + y = 2} .
Skizzieren Sie M .
Z
b) Berechnen Sie (x2 + y 2 ) d2 (x, y) für M = (x, y) 14 x2 + y 2 ≤ 1 indem Sie die
M
Koordinatentransformation
Φ(u, v) = 2u cos(v), u sin(v)
nutzen. Skizzieren Sie M .
Z2π
Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass
0
cos2 (s)ds = π.

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