C. Apprich, F. Gaspoz
L. Ostrowski, J. Magiera
F. Stoll, M. Werth
26. Gruppenübung zur Vorlesung
Höhere Mathematik 2
M. Künzer
M. Stroppel
Sommersemester 2016
Präsenzübungen
Aufgabe P 82. Parametrisierungen, Kurvenintegrale
(a) Parametrisieren Sie die Strecke S , die den Punkt (−3, 1) mit dem Punkt (7, 7)
verbindet.
(b) Parametrisieren Sie die untere Hälfte H eines Kreises mit Mittelpunkt (−1, 1)
und Radius 2.
R
R
(c) Sei f : R2 → R : (x, y) 7→ x + y . Berechnen Sie S f (s) d s und H f (s) d s.
Aufgabe P 83. Längen von Kurven
Skizzieren Sie die durch
⊺
(a) C : [0, 2π] → R2 : t 7→ 3 + cos(t), sin(t)
⊺
√
(b) C : [0, π ] → R2 : t 7→ 4 cos(t2 ), 4 sin(t2 )
⊺
(c) C : [0, 2π] → R3 : t 7→ cos(t), sin(t), t/π
parametrisierten Kurven und berechnen Sie jeweils ihre Länge.
Aufgabe P 84. Zirkulation und Ausfluss
⊺
Gegeben seien die Ellipse K = {(x, y) ∈ R2 | 14 x2 + 4y 2 = 1} und das Vektorfeld
⊺
⊺
g : R2 → R2 : (x, y) 7→ (xy, y − x) .
(a) Skizzieren Sie K .
(b) Geben Sie eine Parametrisierung C von K an.
(c) Bestimmen Sie die Zirkulation von g längs K und den Ausfluss von g durch K .
Aufgabe P 85. Potential durch Hakenintegral
Gegeben sei das Vektorfeld
u + uv 2
u
2
2
.
7→
g: R → R :
u2 v + 3v 2
v
Wir verwenden die von a, b ∈ R abhängigen Parametrisierungen
a
t
2
2
.
und Va,b : [0, b] → R : t 7→
Ha : [0, a] → R : t 7→
t
0
Sei Ka,b die Kurve, die sich als Zusammensetzung der durch Ha und Va,b parametrisierten
⊺
Kurven ergibt und die (0, 0) als Anfangspunkt hat.
(a) Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix, die Divergenz und die Rotation von g .
(b) Skizzieren Sie K2,3 .
(c) Berechnen Sie das Kurvenintegral U (a, b) :=
R
Ka,b
g(x) • dx von g längs Ka,b .
(d) Vergleichen Sie grad U (u, v) und g(u, v). Bestimmen Sie ein Potential von g .
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel/
26. Gruppenübung
Höhere Mathematik 2
Hausübungen (Abgabe bis spätestens Freitag, den 22.07.2016):
Aufgabe H 104. Kurvenintegrale
2
1 2
t
2
− 3t
1 − t − t2
parametrisierte Kurve K .
(a) Skizzieren Sie die durch C : [0, 3] → R : t 7→
Z
Z
Berechnen Sie
f (x) • d x und
|f (s)| d s für
K
K
−4x − 2y + 9
1
2
2
.
f : R → R : (x, y) 7→ 7
2x + y + 20
Z
Z
(b) Berechnen Sie L(K) sowie
f (s) d s und
∇f (x) • d x für
K
K
3
f : R → R : (x, y, z) 7→ 2z 2 − y − 3x
t
e (sin t + cos t)
und die durch C : [0, π] → R3 : t 7→ et (sin t − cos t) parametrisierte Kurve K .
et
Aufgabe H 105. Hyperbel und Hyperbelfunktionen
Gegeben sei die Kurve K j R2 mit der Parametrisierung
(a)
(b)
(c)
(d)
⊺
C : [−1, 2] → R2 : t 7→ cosh(t), sinh(t) .
Ist K ist eine Teilmenge der Hyperbel H = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y 2 = 1} ?
Ist C regulär und doppelpunktfrei?
Skizzieren Sie H und K in dasselbe Koordinatensystem.
Berechnen Sie das Kurvenintegral der Funktion f : K → R : (x, y) 7→ 6xy längs K .
Aufgabe H 106. Lagrange
Seien a, b, c ∈ R+ gegeben. Wir betrachten das Ellipsoid
x 2 y 2 z 2
3
E = (x, y, z) ∈ R +
+
=1 .
a
b
c
Bestimmen Sie den achsenparallelen Quader mit Ecken auf E mit größtem Volumen.
Aufgabe H 107. Ausgleichsgerade
Gegeben sind die Punkte (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ∈ R2 mit x1 < x2 < · · · < xn , wobei n ≧ 2.
P
P
(a) Seien s1 := nj=1 xj und s2 := nj=1 x2j . Bestimmen Sie den Cosinus des Winkels
⊺
⊺
zwischen (x1 , x2 , . . . , xn ) und (1, 1, . . . , 1) in Abhängigkeit
vons1 und s2 .
s2 s1
Folgern Sie, dass s21 < ns2 ist. Invertieren Sie die Matrix
.
s1 n
(b) Für (a, b) ∈ R2 betrachten wir Ga,b : R → R : x 7→ ax + b und die Summe der
Fehlerquadrate
n
n
X
X
E(a, b) :=
(Ga,b (xj ) − yj )2 =
(axj + b − yj )2 .
j=1
j=1
2
Bestimmen Sie (a, b) ∈ R so, dass E(a, b) minimal wird. Diesenfalls heißt der Graph
von Ga,b die Ausgleichsgerade der genannten Punkte.
(c) Zeichnen Sie die Punkte (1, 3), (2, 4), (4, 1) und ihre Ausgleichsgerade in dasselbe
Koordinatensystem.
www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel/
© Copyright 2024 ExpyDoc
