Technische Universität München Zentrum Mathematik Prof. Dr. Thomas Wick Dr. Dominik Meidner Sommersemester 2015 1. Übung zur Vorlesung „Analysis 2 (EI)“ Zentralübung (20.04.15): Aufgabe Z 1.1: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen, den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung (1, −1)T der folgenden Skalarfelder von R2 nach R: a) f (x1 , x2 ) = 2x21 + 3x1 x2 + x2 c) h(a, b) = a sin b b) g(x, y) = xy 2 + ye−xy Aufgabe Z 1.2: Zeigen Sie, dass die Funktion f : R2 → R gegeben durch y x f (x, y) = xy + x ln für x, y > 0 die Gleichung x∂x f + y∂y f = xy + f erfüllt. Aufgabe Z 1.3: Es sei f : R2 → R mit f (x, y) = |xy|. In welchen Punkten (x, y)T ist f Fréchetdifferenzierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die totale Ableitung. Aufgabe Z 1.4: Bestimmen Sie den Wert von Hierbei seien x1 x22 f (x1 , x2 ) = e Aufgabe Z 1.5: d dt f (x(t)) und an der Stelle t = π 2 mit der Kettenregel. ! x(t) = t cos t . t sin t Gibt es eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R2 → R, für die ∂x f (x, y) = 4x2 y und ∂y f (x, y) = x2 + 3 gilt? Seite 1 von 2 Tutorübungen (20.04.15 – 22.04.15): Aufgabe T 1.1: Sei f : R2 → R gegeben durch f (x, y) =   x2 y falls (x, y) 6= (0, 0), 0 falls (x, y) = (0, 0). x4 +y 2 a) Zeigen Sie, dass f im Punkt (0, 0)T unstetig ist. b) Zeigen Sie, dass f im Punkt (0, 0)T partiell differenzierbar ist. Aufgabe T 1.2: f : R2 → R: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der folgenden Funktionen a) f (x, y) = 4 sin3 (x2 + y 2 ) b) f (x, y) = arctan c) f (x, y) = (x3 − y 2 ) cosh(xy) xy+1 x+y d) f (x, y) = x2 e−xy Aufgabe T 1.3: Berechnen Sie für die folgenden Funktionen f : R2 → R jeweils den Gradienten: c) f (x, y) = ln(1 + x2 y 4 ) a) f (x, y) = 2x + 3y b) f (x, y) = p x2 + y 2 für (x, y)T 6= (0, 0)T d) f (x, y) = 8 − 3x sin y Aufgabe T 1.4: Berechnen Sie für die Hintereinanderausführung folgender Funktionen mit Hilfe der Kettenregel den Gradienten bzw. die erste Ableitung. Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie die Komposition direkt ableiten: a) f (x, y) = f2 (f1 (x, y)) mit f1 (x, y) = xy und f2 (t) = et b) h(t) = h2 (h1 (t)) mit h1 (t) = (cos t, sin t) und h2 (x, y) = x2 + y 2 Aufgabe T 1.5: Verifizieren Sie, dass für z : R2 \ { (0, 0)T } → R mit z(x, y) = x−y x2 + y 2 die Identität ∂x ∂y z = ∂y ∂x z gilt. Seite 2 von 2