Integral einer e-Funktion A = ∫ dx (= lim ∫ u dx) [ -

Integral einer e-Funktion A =
Z
∞
−x2
e
( = lim
dx
u→∞
−∞
Um den Flächeninhalt auszurechnen, lassen wir den Graph
2
der Funktion f (x) = e−x um die y-Achse rotieren und
versuchen, das Volumen:
Z ∞Z ∞
2
2
V =
e−x −y dx dy auszurechnen.
−∞
Z
u
2
e−x dx )
−u
y
−∞
x
1
f (x, y) = e−x
2 −y 2
y
V =
Z
∞
−∞
Z
Z
∞
e−x
2 −y 2
dx dy =
−∞
∞
−∞
Z
∞
2
−∞
mit
V =
Z
∞
−y 2
e
−∞
Z
Z
2
e−x · e−y dx dy
e−x
∞
2 −y 2
2
= e−x · e−y
2
2
e−x dx dy
| −∞ {z
}
A
1
∞
2
e−y dy = A2
V = A
| −∞ {z
}
A
Das Volumen kann nun auf eine 2. Art bestimmt werden, indem wir
2
die Umkehrfunktion von f (x) = e−x für x > 0 um die x-Achse rotieren lassen.
√
Die Umkehrfunktion lautet: f −1 (x) = − ln x
Z 1
h
i1
V = π
(− ln x) dx = π − x · ln x + x = π
Aus
A2
= π folgt A =
beachte:
0
0
Z
∞
2
e−x dx =
√
lim (x · ln x) = 0
x→0
π
−∞
Mit der Schalenmethode erhalten wir ebenfalls V = 2π
c Roolfs
Z
∞
0
1
x · f (x) dx = 2π [ − 2 e−x
2
∞
]0
=π
x

Download Report