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Klarb 16-12-2014
PFLICHTTEIL
Aufgabe l
Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f ( x=
)
( 4 − cos x )
3
.
(2 P)
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion f mit f ( =
x) 2 x + e 2 x .
Bestimmen Sie die Stammfunktion F von f mit F (0) = 2,5 .
(3 P)
Aufgabe 3
Lösen Sie für 0 ≤ x ≤ 2 π die Gleichung ( cos x ) − 4 cos x − 5 =
0.
2
(3 P)
Aufgabe 4
Gegeben ist die Funktion f mit =
f ( x)
4
+ 2 . Untersuchen Sie das Schaubild von f auf
1+ x 2
Asymptoten und Symmetrie. Bestimmen Sie eine Gleichung der Normale im Punkt P (1/ f (1) ) .
(4 P)
Aufgabe 5
Gegeben ist das Schaubild der Ableitung f ′ einer Funktion f.
Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie richtig, falsch oder unentscheidbar ist.
Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
•
Die Funktion f hat genau zwei Wendestellen.
•
Die Funktion f hat genau zwei Nullstellen.
•
Die Funktion besitzt bei x = 2 einen Tiefpunkt.
2
•
∫
f (′x ) ⋅ dx > 4
(4 P)
y
−2
2
Schaubild von f '
x
-2
0
2
4
6
Klarb 16-12-2014
Aufgabe 6
Eine Ebene E geht durch die Punkte A(6|0|0), B(0|4|0) und C(0|0|8).
 4
 3
  
 
x  2  + t ⋅ 3 .
Gegeben ist außerdem die Gerade g : =
1
a
 
 
Bestimmen Sie den Parameter a so, dass die Gerade g parallel zur Ebene E verläuft.
(4 P)
Aufgabe 7
2 x1
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
x1
3 x1
+ 5 x2
− 2 x3
=
−1
+ 4 x3
=
22
=
9
+ 5 x2
Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.
(3 P)
Aufgabe 8
Gegeben sind die Gleichungen von zwei parallelen Geraden g und h. Zwischen ihnen liegt die
Mittelparallele.
Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man eine Gleichung der Mittelparallele bestimmen kann.
(3 P)
Aufgabe 9 [STOCHASTIK]
Das nebenstehende Glücksrad wird dreimal gedreht.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
5
10
15
A:
,,Es erscheint immer die Zahl 5.“
B:
„Es erscheint wenigstens einmal die Zahl 5.“
C:
,,Es erscheint genau zweimal eine ungerade Zahl."
D:
,,Die Summe der Zahlen ist höchstens 20."
(4 P)
= 30 P
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y
ANALYSIS
SEGELSCHIFF
BUG
HECK
x
Wasserlinie
Ruderblatt
Ein Segler möchte sich eine neue Jacht für das Hochseesegeln bauen lassen. Dazu trifft er sich
mit seinem Schiffskonstrukteur, um dessen Entwurf für die Rumpfform zu diskutieren. Der
Konstrukteur stellt für die Seitenansicht des Schiffes die folgende Funktion f auf:
f ( x)=
1
1
x 4 − x 2 − 4,5
6750
75
a)
Eine Einheit entspricht 1m. Zeichnen Sie die Kurve des Rumpfes Wähle 1 m  0,5 cm  .
Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie, führen Sie den rechnerischen Nachweis.
Das Deck des Schiffes liegt auf der x-Achse. Geben Sie die Länge des Schiffes an.
Bestimmen Sie den maximalen Tiefgang, wenn die Wasserlinie 1m unterhalb vom Deck liegt.
Wie groß ist in etwa die Fläche, die seitlich vom Wasser bedeckt wird?
(5 P)
b)
Im Punkt B (13 / f (13) ) wird ein Ruderblatt in Form eines rechtwinkligen Dreiecks befestigt.
Die Hypotenuse des Dreiecks soll dabei tangential zum Rumpf verlaufen, d.h. den Rumpf im
angegebenen Befestigungspunkt berühren. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangente im
Punkt B.
Berechnen Sie die Fläche des Ruderblattes, wenn das Ruderblatt 3 m hoch sein und genau bis
zur Wasserlinie reichen soll.
(5 P)
c)
Am Bug wird das Schiff durch einen 3m langen Steg nach vorne verlängert. Um diesen gut zu
befestigen, wird er mit einer Stange tangential am Rumpf befestigt. Wie lang muss diese
Stange sein? Welchen Winkel bildet sie mit dem Steg?
(5 P)
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ANALYTISCHE GEOMETRIE / STOCHASTIK
x3
D
C
BÖSCHUNG
Aufgabe 1
A
x2
B
Die Abbildung zeigt den Querschnitt eines Dammes. Dabei ist das Koordinatensystem so gewählt, dass der Damm parallel zur x1 Achse verläuft. Die Punkte des Querschnitts haben die
Koordinaten A(0/-6/0), B(0/8/0), C(0/2/3) und D(0/-4/3) - alle Angaben in Meter.
a) Begründen Sie, dass die rechte Böschung in der Ebene E : x2 + 2 x3 =
8 liegt.
Berechnen sie den Neigungswinkel der rechten Böschung.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die linke Böschung liegt.
(4 P)
b) In dem Damm soll ein Abwasserrohr so verlegt werden, dass die Achse des Rohres durch
 0 
1
  
 
die Gerade g : =
x  2  + t ⋅  0  beschrieben werden kann. Aus Sicherheitsgründen muss
1,5 
0
 
 
das Rohr in jeder Richtung einen Abstand von mindestens einem Meter zur Dammoberfläche
haben. Welchen Durchmesser darf das Rohr höchstens haben?
(3 P)
c)
Im Punkt P(0/3/2,5) soll senkrecht zur rechten Böschung eine Bohrung durchgeführt werden,
die der Achse des Abwasserrohres nicht näher als einen Meter kommen darf.
Wie tief darf höchstens gebohrt werden?
(4 P)
Aufgabe 2 [STOCHASTIK]
Ein Unternehmer stellt Bauteile her. Er behauptet, dass davon höchstens 3% defekt sind.
Diese Behauptung soll mit einer Stichprobe von 200 Bauteilen überprüft werden.
Die Nullhypothese lautet H 0 : p ≤ 3 % , die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 5%
betragen. Bestimmen Sie den Ablehnungsbereich.
(4 P)
= 15 P

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