Fakult¨at Physik, Technische Universit¨at Dortmund Prof. G. Hiller ¨ Ubungen zur H¨ oheren Quantenmechanik im SS 15 — Blatt 2 Abgabe bis Dienstag, den 28. April 2015, 16:00 Uhr ¨ Aufgabe 1: “Uberg¨ ange im Wasserstoffatom” (5 Punkte) Ein Wasserstoffatom befinde sich in einem elektrischen Feld mit der Zeitabh¨angigkeit ( 0 t<0 ~ E(t) = . (1) −γt E0~ez e t≥0 ¨ Wie groß ist in niedrigster Ordnung die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ubergang aus einem 1S- in einen 2P -Zustand stattfindet? Hinweise: ¨ • Die Ubergangswahrscheinlichkeit von einem Anfangszustand |ii in einen Endzustand |f i ist in erster Ordnung zeitabh¨angiger St¨orungstheorie durch Z 1 t dτ exp(i(εf − εi )τ /¯ h) hf |VS (τ )|ii (2) ci→f (t) = δf i + i¯ h t0 gegeben. |ii und |f i sind Eigenzust¨ande des ungest¨orten Hamiltonoperators zu den Eigenenergien εi und εf . VS ist der St¨oroperator. • N¨ utzliche Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms: 1 −r/a 1 r −r/(2a) m e Y1 (ϑ, ϕ). Ψ100 = √ e Ψ21m = √ 3 πa 6a3 2a (a ist der bohrsche Radius, Ylm sind Kugelfl¨achenfunktionen.) (3) • Dr¨ ucken Sie das St¨orpotential in Kugelkoordinaten aus und ersetzen Sie es dann durch geeignete Kugelfl¨achenfunktionen. Aufgabe 2: “Schr¨odingergleichung als Anfangswertproblem” (6 Punkte) Untersuchen Sie im Folgenden die Schr¨odingergleichung f¨ ur ein freies Teilchen p2 (4) 2m mithilfe der Methode der Greenschen Funktionen. Die Greensche Funktion G(~x −~x0 , t) beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion und ist gegeben durch Z ψ(~x, t) ≡ d3 x0 G(~x − ~x0 , t)ψ(~x0 , 0). (5) H= Bei vorgegebener Anfangsbedingung f¨ ur die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t = 0 Z 1 ~ ψ(~x, 0) = √ 3 d3 kA(k)eik~x (6) 2π als allgemeine Superposition von ebenen Wellen, kann die Wellenfunktion zu einem beliebigen Zeitpunkt t > 0 berechnet werden. (Aus diesem Grund wird die Greensche Funktion “Propagator” genannt.) ¨ • Uberzeugen Sie sich davon, dass die Greensche Funktion ebenfalls eine L¨osung der Schr¨odingergleichung ist. Welche Bedingung gilt f¨ ur G(~x − ~x0 , t = 0)? • Bestimmen Sie G(~x − ~x0 , t) f¨ ur die Schr¨odingergleichung eines freien Teilchens. Hinweis: A(k) ist die Fouriertransformierte zu ψ(~x, 0). Dieser Sachverhalt kann dazu genutzt werden, um die allgemeine L¨osung Z 1 h ¯ k2 ~ (7) ψ(~x, t) = √ 3 d3 kA(k)ei(k~x−ω(k)t) mit ω(k) = 2m 2π in die Gestalt von Gleichung (5) zu u ¨berf¨ uhren. • Wie h¨angt G(~x − ~x0 , t) mit dem Zeitentwicklungsoperator U zusammen? Aufgabe 3: “Streuung am Yukawa-Potential” (6 Punkte) Die Wechselwirkung zwischen Nukleonen kann durch das Yukawa-Potential r e− a V (r) = V0 a r (8) mit a = 1.2 · 10−13 cm und V0 = 100 MeV beschrieben werden. • Wie groß ist der totale Wirkungsquerschnitt f¨ ur Proton-Proton-Streuung bei 100 MeV Schwerpunktsenergie in Bornscher N¨aherung? Geben Sie das Ergebnis in Einheiten von 1 mb = 10−27 cm2 an. Beachten Sie, dass die streuenden Teilchen vergleichbare Massen haben. • Reproduzieren Sie das Ergebnis f¨ ur den differentiellen Streuquerschnitt der Rutherford-Streuung, dσ = dΩ ZZ 0 e2 16πε0 E 2 1 sin4 ϑ 2 (9) indem sie den Limes a → ∞ bilden und annehmen, dass lim aV0 = a→∞ ZZ 0 e2 . 4πε0 Webseite zur Vorlesung: http://www.physik.tu-dortmund.de/~ghiller/SS15HQM.html (10)