Analysis III - Übersicht Dierentialgleichungen von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Dr. Schmoeger Dierentialgleichungen 1. Ordnung Systeme 1. Ordnung Dierentialgleichungen m-ter Ordnung Allgemein: y0 = f (x, y) Allgemein: y0 = f (x, y) Gewöhnliche DGL: F (x, y, y0 , ..., y(m) ) = 0 • y = (y1 , ..., ym ) und f = (f1 , ..., fm ) Lineare DGL 1. Ordnung: y 0 = a(x) · y + s(x) Lineares System: (S) y 0 = A(x)y + b(x) Explizite DGL: y(m) = f (x, y, y0 , ..., y(m−1) ) Lineare DGL m-ter Ordnung: Ly = b(x) • Lösung von (H) y 0 = a(x) · y : yh (x) = c · eA(x) • A(x) := (ajk (x)), y = (y1 , ..., ym ) • Ly := y (m) +am−1 (x)y (m−1) +...+a1 (x)y 0 +a0 (x) • Spezielle Lösung: Variation der Konstanten mit Ansatz ys (x) = c(x) · eA(x) • b(x) := (b1 (x), ..., bm (x)), y := (y1 , ..., ym ) • Lösung von (H) Ly = 0: für m = 2 mir Redukti- • Allgemeine Lösung der DGL: y = yh + ys • L := {y : I → R m : y löst (H) auf I} • Fundamentalsystem von (H) y 0 = A(x)y : y (1) (x), ..., y (m) (x) ∈ L linear unabhängig • Spezielle Lösung: R −1 ys (x) := Y (x) (Y (x)) b(x) dx R Wk (x) (k) Pm (x) ys (x) = k=1 W (x) dx y Lineares System mit konstanten Koezienten: (S) y = Ay + b(x) 0 onsverfahren nach d'Alembert • Spezielle Lösung: ys := • W (x) := Pm k=1 yk R Wk (x) W (x) dx y1 (x) . . . ym (x) 0 (x) y10 (x) . . . ym .. .. . . (m−1) (m−1) (x) y1 (x) . . . ym Lineare DGL m-ter Ordnung mit konst. Koe.: • Ly := y (m) + am−1 y m−1 + ... + a1 y 0 + a0 y • FM von (H) y 0 = Ay : exA • p(λ) := λm + am−1 λm−1 + ... + a1 λ + a0 • Konkret: y (j) (x) := eλj x c(j) mit c(j) Eigenvektor zum Eigenwert λj von A ist FS • λ0 sei eine q-fache Nullstelle von p. Dann sind eλ0 x , xeλ0 x , ..., xq−1 eλ0 x l.u. Lösungen von (H) ⇒ (komplexes) Fundamentalsystem von (H) durch Anwendung auf alle Nullstellen von p, spe- • Spezielle Lösung: Ansatz ys (x) = c1 (x)y (1) (x) + ... + cm (x)y (m) (x) 1 zielle Lösung siehe Formelsammlung. DGL mit getrennten Veränderlichen: Eulersche DGL: xm y (m) + am−1 xm−1 y (m−1) + ... + a1 xy 0 + a0 y = b(x) y 0 = g(y) · f (x) • Lösungsverfahren: Trennung der Veränderlichen y0 = f • Lösung: Substituiere x = et und setze u(t) := y(et ) = y(x), dies führt auf eine lineare DGL mit konstanten Koezienten ⇒ u(m) +bm−1 u(m−1) + ... + b1 u0 + b0 u = b(et ) y x • Setze u := y x, dies führt auf eine DGL mit getrennten Veränderlichen für u. Bernoullische DGL: y 0 = p(x) · y + q(x) · y α = 0 • Dividiere durch y α und setze u := y 1−α . Dies führt auf eine lineare DGL für u. Exakte DGL: P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 • (P, Q) muss eine Stammfunktion besitzen, nachprüfen über Py = Qx • Lösung: Stammfunktion F (P, Q) mit Fx = P, Fy = Q bestimmen und Gleichung F (x, y(x)) = c nach y(x) auösen Riccatische DGL: y 0 + g(x) · y + h(x) · y 2 = k(x) 1. Sei y1 eine bekannte Lösung der DGL. Setze z := 1 y−y1 2. Es gilt dann: z 0 = (g(x) + 2 · y1 · h(x)) · z + h(x), lineare DGL für z (*) 1 , wobei z 3. Allgemeine Lösung: y(x) = y1 (x) + z(x) die allgemeine Lösung von (*) durchläuft. Exakte DGL mit Multiplikator: (µP )dx + (µQ)dy = 0 • µ Multiplikator :⇔ (µP )y = (µQ)x • Hängt f := µ(x) := e R 1 Q (Py f (x) dx − Qx ) nur von x ab, so ist ein Multiplikator • Hängt f := P1 (Py −Qx ) nur von y ab, so ist µ(y) := R f (y) dy e ein Multiplikator 2