Examen de Théorie algébrique des nombres – MAT552 – 28/11/2014
Documents autorisés : polycopié du cours, notes de cours et de PC, calculatrice. Il n’est pas nécessaire de
traiter toutes les questions pour avoir la note maximale. Les parties II et III du problème 2 sont indépendantes.
√
Problème 1. Soient p un nombre premier ≡ 1 mod 4 et A = Z[ −p]. On se propose de démontrer
que |Cl(A)| est multiple de 4 si, et seulement si, p ≡ 1 mod 8.
√
(i) Rappeler pourquoi A est l’anneau des entiers de Q( −p).
√
(ii) Considérons l’idéal D = (2, 1 + −p) de A. Montrer que D2 = (2) et N(D) = 2.
(iii) Montrer que D n’est pas principal.
(iv) En déduire que |Cl(A)| ≡ 0 mod 2.
(v) Déterminer la forme réduite de Gauss dans la classe qD ∈ Cl(−4p) qui est associée à l’idéal D
par la construction de Dedekind.
(vi) Montrer que les formes réduites et ambiguës de discriminant −4p sont (1, 0, p) et (2, 2, p+1
).
2
(vii) En déduire que [D] est l’unique élément d’ordre 2 du groupe Cl(A).
Si G est un groupe abélien, on note C(G) = {g 2 , g ∈ G} le sous-groupe des carrés de G.
(viii) Soit G un groupe abélien fini possédant un unique élément d’ordre 2, noté z. Montrer que
|C(G)| = |G|/2. En déduire que z ∈ C(G) si, et seulement si, |G| ≡ 0 mod 4.
On rappelle que l’on a défini dans le cours un morphisme de groupes εp : P(−4p) → {±1}.
(ix) Déterminer εp ((2, 2, p+1
)).
2
(x) En déduire que si |Cl(A)| ≡ 0 mod 4 alors p ≡ 1 mod 8.
Afin de prouver la réciproque, on se propose de démontrer que C(P(−4p)) = ker εp (Gauss).
(xi) Montrer qu’il existe un nombre premier ` ≡ 3 mod 4 qui n’est pas un carré modulo p. (On
admettra que si a, b ∈ Z sont premiers entre eux, il existe un nombre premier ` tel que ` ≡ a mod b (Dirichlet )).
(xii) En déduire qu’il existe une forme binaire q de discriminant −4p telle que εp (q) = −1.
(xiii) En déduire que C(P(−4p)) = ker εp .
(xiv) Montrer que Cl(A) ≡ 0 mod 4 si, et seulement si, p ≡ 1 mod 8.
Problème 2. Soient d ∈ Z tel que d > 0 et P (X) = X 3 + dX + 1.
Partie I. Questions préliminaires
(i) Montrer que P admet une unique racine α ∈ R, et vérifier que α ∈ ] − d1 , − d1 +
(ii) Montrer que P est irréductible dans Q[X], et de discriminant −4d3 − 27.
1
1
d2
[.
2
On considère le corps de nombres K = Q(α) ⊂ R, où α est la racine réelle de P . On fixe un
plongement σ : K → C tel que σ(α) 6= α (justifier). On note |z| = (zz)1/2 le module de z ∈ C.
(iii) Déterminer [K : Q], les entiers r1 et r2 relatifs à K, et montrer que Σ(K) = {id, σ, σ}.
(iv) Montrer que pour tout x ∈ OK , on a |σ(x)|2 ∈ Z[x]. (On pourra considérer χx,K/Q ).
Partie II. On se propose de déterminer le groupe des unités A× de l’anneau A = Z[α] ⊂ R. On
pose A1 = {x ∈ A× , x > 0}.
(v) Montrer que A1 est un sous-groupe de A× contenant −α, puis que A× = {±1} · A1 .
(vi) Montrer que A1 = {x ∈ A, x |σ(x)|2 = 1}.
(vii) Montrer que pour tout réel ρ > 1, l’ensemble des x ∈ A1 tels que
1
ρ
≤ x ≤ ρ est fini.
(viii) En déduire que {log x, x ∈ A1 } est un réseau de R.
(ix) Montrer qu’il existe un unique ε ∈ A1 tel que ε > 1 et A1 = hεi, puis que A× ' Z/2Z × Z.
(x) (suite) Montrer qu’il existe un unique entier n ≥ 1 tel que −α−1 = εn . En déduire que Z[ε] = A.
Dans la suite, on admettra l’inégalité d’Artin : Si Q ∈ R[X] est un polynôme unitaire de degré 3
possédant une unique racine réelle β, et si Q(0) = −1 et β > 1, alors |disc Q| < 4β 3 + 24.
(xi) (suite) Vérifier que K = Q(ε), puis que le polynôme Q = χε,K/Q satisfait les hypothèses de
l’inégalité d’Artin. Montrer que disc Q = disc P .
2
−1 1/n
(xii) (suite) Montrer que (−α )
> d, puis n <
d
log( d−1
)
log d
si d > 1.
(xiii) Montrer que si d > 1 alors A1 = h−αi et A× = h−1, αi.
Partie III. On suppose désormais d = 4. On se propose de déterminer Cl(A) où A = Z[α].
(xiv) Justifier la relation disc A = |OK /A|2 disc OK . En déduire A = OK .
(xv) Montrer que tout idéal non nul de A est
√ équivalent à un idéal divisant l’idéal (n) où n ∈
{1, 2, 3, 4}. (Indication : on a l’inégalité 89 283 < 5π).
(xvi) Montrer les décompositions (2) = D1 D2 et (3) = T1 T2 où D1 , D2 , T1 et T2 sont des idéaux
premiers de A de normes respectives 2, 4, 3 et 9.
(xvii) Expliquer pourquoi l’ensemble des idéaux premiers Q de A tels que N(Q) est une puissance
de 2 ou de 3 est {D1 , D2 , T1 , T2 }.
(xviii) Montrer (1 − α) = D1 T1 et (1 + α) = D12 . (Observer que si m ∈ Q alors NK/Q (m − α) = P (m).)
(xix) En déduire que Cl(A) = h [D1 ] i et [D1 ]2 = 1.
(xx) Montrer qu’il existe un morphisme d’anneaux ϕ : A → Z/17Z envoyant α sur 2.
(xxi) En admettant le résultat de la question (xiii), montrer que si x ∈ A× alors ϕ((1 + α)x) n’est
pas un carré dans Z/17 Z.
(xxii) En déduire que D1 n’est pas principal. Conclure.
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