Sommes doubles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Sommes doubles
Exercice 1
[ 02073 ]
[correction]
A partir des valeurs connues de
n
P
k,
k=1
a)
X
(i + j)2
b)
16i,j6n
n
P
k 2 et
k=1
X
n
P
ij
X
c)
16i<j6n
Exercice 2 [ 02074 ] [correction]
P
Soit n ∈ N? . Calculer Cn =
k 3 , calculer :
k=1
min(i, j)
16i,j6n
(p + q) en remarquant
16p<q6n
X
16p,q6n
p + q = 2Cn + 2
n
X
p
p=1
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Corrections
2
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
n P
n
P
P
a)
(i + j)2 =
i2 + 2ij + j 2 puis
i=1 j=1
16i,j6n
X
(i + j)2 = n
P
ij =
n−1
P
X
n
P
ij =
16i<j6n
c)
n
n X
X
ij =
min(i, j) =
16i,j6n
X
16i,j6n
n−1
P
i=1
i
n
X
j2 =
j=1
n2 (n + 1)(7n + 5)
6
!
n
P
i
i=1
n−1
X
ij + n
i=1 j=1
i=1 j=i+1
16i<j6n
P
i2 + 2
i=1
16i,j6n
b)
n
X
j
puis
j=i+1
n(n − 1)(n + 1)(3n + 2)
n+i+1
(n − i) =
2
24
n
P
i
P
i=1
j=1
min(i, j) =
n
P
j+
!
i
puis
j=i+1
n
X
i(i + 1)
2
i=1
+ i(n − i) =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Exercice 2 : [énoncé]
Après réorganisation des termes
X
p + q = 2Cn + 2
2
p
p=1
16p,q6n
Or
n
X
n
X
p = n(n + 1)
p=1
et
n X
n
X
p + q = n2 (n + 1)
p=1 q=1
d’où
Cn =
(n − 1)n(n + 1)
2
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Download Report