brevet_blanc_21_janvier_2014_correction

Exercice 1 : (détailler chacun des calculs suivants)
a) Calculer sous la forme d’une fraction irréductible
1
1 6
5
−2
−
−
3
3 3
3
7
3 14 9
5 1
5 18
18
A= −
= −
= =
B =
=
=
= − × = − = −6
5
5
15 10 30 30 30 6
5
3 5
3
18
18
18
b) Calculer en notation scientifique
24 × 3 × 10 6– 2 72× 10 4 72
C=
=
= ×104−2 = 36×102 = 3,6×103
2 × 102
2 × 102
2
Exercice 2 :
On considère la figure ci-dessous où l’unité est le centimètre. Les points B, A, et E sont alignés
ainsi que L, A et U. Le triangle BAL est rectangle en A. Les droites (BL) et (EU) sont parallèles.
a) Construire la figure avec précision.
B
L
4
6
b) Calculer la longueur BL à 0,1 cm près.
C
Le triangle BAL est rectangle en A donc d’après
le théorème de Pythagore :
BL² = BA² + AL²
BL² = 6² + 4²
BL² = 36 + 16
BL² = 52
BL² = 52
donc BL ≈ 7,2 cm
2,4
A
2,7
4,5
U
I
E
c) Calculer la longueur AU à 0,1 cm près.
Dans les triangles BAL et EAU, A∈ (BE), A ∈ (LU) et (BL) // (EU) donc d’après d’après le théorème de
Thalès :
AB AL BL
=
=
AE AU UE
6
4
BL
=
=
4,5 AU UE
6
4
4 × 4,5
=
AU×6 = 4×4,5
AU =
donc AU = 3 cm
4,5 AU
6
b) Rajouter sur la figure le point C sur [AL] tel que AC = 2,4 cm et le point I sur [AE] tel que
AI = 2,7 cm. Les droites (CI) et (EL) sont-elles parallèles ?
Dans les triangles CIA et LEA, les points A,C,L et A,I,E sont alignés dans le même ordre.
AC 2,4
AI 2,7
=
= 0,6
et
=
= 0,6
AL 4
AE 4,5
AC AI
=
donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CI) et (EL) sont parallèles.
AL AE
Exercice 3 : On considère les expressions E = (3x + 5)(2x + 7) et F = (3x + 5)² – (3x + 5)( x − 2)
a) Développer E et F.
E = (3x + 5)(2x + 7) = 6x² + 21x + 10x + 35 = 6x² + 31x +35
F = (3x + 5)² – (3x + 5)( x − 2) = 9x² + 30x + 25 − ( 3x² − 6x + 5x − 10 )
= 9x² + 30x + 25 − 3x² + 6x − 5x + 10 = 6x² + 31x +35
b) Utiliser les calculs précédents pour calculer rapidement et sans calculatrice E − F pour x = −
d'après a) quel que soit x
E = F donc
pour x = −
23
41
E−F=0
23
41
Exercice 4 :
Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l’ordre croissant.
Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier.
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.
1) Leslie a écrit le calcul suivant : 11×(2×9) et Jonathan a écrit le calcul suivant : 102 + 2
a) Effectuer les calculs précédents.11×(2×9) = 11×18 = 198
102 + 2 = 100 + 2 =102
b) Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ? Le professeur a choisi 9, 10 et 11.
2) Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers consécutifs. Leslie et Jonathan obtiennent alors
tous les deux le même résultat.
a) Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ? Les nombres seraient 5, 6 et 7
Leslie: 7×(2×5) = 7×10 = 70
Jonathan : 6² + 2 = 36 + 2 = 38
Ce n'était pas 6.
b) Le professeur a-t-il choisi −7 comme deuxième nombre ? Les nombres seraient −8, −7 et −6
Leslie: −6×(2×(−8)) = −6×(−16) = 96
Jonathan : (−7)² + 2 = 49 + 2 = 51 Ce n'était pas −6.
c) Arthur prétend qu’en prenant pour variable le deuxième nombre entier (qu’il appelle n),
l’expression D = n² − 4 permet de retrouver la différence des résultats trouvés par Leslie et
Jonathan. A-t-il raison? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette
expression.
Les nombres seraient n − 1, n et n + 1
D = (n + 1)×(2×(n − 1)) − (n² + 2) = (n + 1)×(2n − 2) − (n² + 2) = 2n² −2n +2n − 2 − n² − 2 = n² − 4
Jonathan a raison.
Exercice 5 :
Deux classes du collège ont répondu à la question suivante : « Combien de livres avez-vous
empruntés durant les 12 derniers mois ? ». Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons
différentes :
Classe n° 1 : 6 ; 3 ; 2 ; 3 ; 7 ; 3 ; 3 ; 6 ; 6 ; 1 ; 6 ; 3 ; 2 ; 7 ; 3 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 2 ; 3
Classe n° 2 : Effectif total : 25
Moyenne : 4
Médiane : 5
1) Comparer les moyennes des nombres de livres empruntés dans chaque classe.
1 + 4×2 + 8×3 + 5×6 + 3×7 84
Classe n° 1 :
m=
= = 4; les 2 classes ont la même moyenne.
21
21
2) Comparer les médianes des nombres de livres empruntés dans chaque classe.
Je range les valeurs de la classe n°1: 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7
21 = 10 + 1 + 10 donc la médiane est la 11ème valeur soit 3; la classe n°2 a une médiane supérieure.
3) Un « grand lecteur » est un élève qui a emprunté 5 livres ou plus. Quelle classe a le plus de « grands
lecteurs » ? La classe n° 1 a 8 grands lecteurs.
Classe n° 2 : 25 = 12 + 1 + 12 et la médiane est de 5 donc il y a au moins 13 grands lecteurs.
La classe n°2 a le plus de grands lecteurs.
4) Pour mieux visualiser les résultats de la classe n° 1, la responsable du CDI décide de construire un
diagramme circulaire. Compléter ce tableau puis construire
le diagramme circulaire correspondant.
(le rayon sera de 3cm. Ne pas oublier la légende et le coloriage)
Nombre de livres
[0;2]
[3;4]
[5;6]
[7;8]
Total
Effectifs
5
8
5
3
21
Angles (à 1° près)
86
137
86
51
360
Exercice 6 :
L’observatoire astronomique de Skinakas en Crète (Grèce) a la forme d’un cylindre de révolution de
rayon 3 m et de hauteur 5 m surmonté d’une demi-sphère de même rayon.
a) Calculer le volume exact de cet observatoire puis donner la valeur en m3 arrondie au dm3 près.
1 4
1 4
Vtotal = Vcylindre + Vdemi-sphère = π × R² × h + × × π × R3 =π×3²×5 + × ×π×33 = 45π + 18π = 63π m3
2 3
2 3
3
Vtotal ≈ 63 × 3,14 = 197,820 m
La volume exact est 63π m3 et la valeur arrondie 197,820 m3.
L’observatoire doit être repeint en blanc chaque année pour le plaisir des yeux des nombreux touristes
qui le visitent.
b) Quelle quantité de peinture mono-couche est-il nécessaire de prévoir pour repeindre l’observatoire
sachant qu’il faut 1 litre de peinture pour 8m² ? donner la réponse à 1 litre près
1
1
Atotale = Arectangle + Ademi-sphère = π × D × h + × 4 × π × R² = π×6×5 + ×4×π×3² = 30π + 18π = 48π m²
2
2
L’aire de l’observatoire est 48π m²
48π
= 6π ≈ 19.
Il faut environ 19 litres de peinture.
8
Exercice 7 :
Le gestionnaire d’un magasin de sport fait le point sur les ventes de l’année.
3
a) Il constate que des articles vendus ont été payés par carte bancaire, un tiers des articles par chèque, et
5
les autres en espèces. Quelle fraction des articles ont été payés en espèces ?
5
14 15 14 1
3 1
9
1 –  +  = 1 –  +  = 1 –
= –
=
15 15 15 15
5 3 
15 15
1
des articles ont été payés en espèces.
15
b) En ce début d’année, il veut solder un ensemble pour skieurs (blouson à 85€ et pantalon à 64€) mais
il hésite entre deux solutions :
une réduction de 25% du prix du blouson et une baisse de 30% du prix du pantalon
ou
un prix de 110€ pour l’ensemble blouson-pantalon
Quelle serait la solution la plus avantageuse pour les clients voulant acheter l’ensemble ?
85 × 0,75 + 64 × 0,7 = 63,75 + 44,80 = 108,55
Dans le 1er cas, le prix est 108,55€
ère
La 1 proposition est la plus intéressante pour les clients.
Exercice 8 :
Dans une pizzeria, vous pouvez avoir une pizza de base avec deux garnitures : fromage et tomate.
Vous pouvez également composer votre pizza avec des garnitures supplémentaires. Vous pouvez choisir
parmi quatre garnitures supplémentaires différentes : anchois, jambon, champignons et oignon.
Mario veut commander une pizza avec deux garnitures supplémentaires différentes. Entre
combien de possibilités différentes Mario peut-il choisir ?
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
Le fromage et le jambon n’interviennent pas dans les choix. Les deux garnitures doivent être différentes.
On note A pour anchois, J pour jambon, C pour champignons et O pour oignon.
A
A
J
C
O
Il y a 6 possibilités.
J
AJ
C
AC
JC
O
AO
JO
CO

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