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Révisions - Suites - Eléments de correction
BCPST2
2014-2015
Exercice 1 - Suite arithmético-géométrique 8
1
un
(suite arithmético-géométrique)
1. un 1
9
9
n
8
2. un 1
limn
un 1
9
Exercice 2 - Limites 1. limn
un 0 (par encadrement)
vn 0 (par équivalent de polynômes en
)
2. limn
3. limn
wn 1 (par équivalent)
4. limn
xn e (forme exponentielle + équivalent). La rédaction est assez délicate ...
yn 2 (factoriser + équivalent). Assez difficile
5. limn
Exercice 3 - Suite récurrente linéaire d’ordre 2 C’est la fameuse suite den Fibonacci
n
5 1
5
5 1
5
1. Fn
.
5
2
5
2
2. Par récurrence. Pas de difficulté pour la première. L’hérédité de la seconde est demande un peu plus de travail
3. Piège : on doit utiliser une (ou des) variables temporaires pour ne pas perdre les valeurs en cours de route ...
1
2
3
4
5
6
7
!
"
#
Exercice 4 - Système de suites récurrentes Méthode 1 : 1. an 2
3an 1 an
4 n 11
16 n 11
n
1
1
2. an
4
bn
4
5
5
5
5
Méthode 2 : 3. an 1 bn 1 an bn 4
$
def fibonacci ( n )
u =0; v =1 # u0 , u1
f o r i in range (0 , n ): # n itérations
suivant = u + v
u=v
v = suivant
return u
4. an
5. bn
4
1
4
n
4an (suite arithmético-géométrique). an
16 11
an . b n
4n
5
5
4
5
11
5
4
n
Exercice 5 - Suite d’intégrales - Intégrales de Wallis
1. par positivité de l’intégrale / par croissance de l’intégrale. Thm de la limite monotone :
1
Wn 2 . Avec sin2 t 1 cos2 t : I Wn Wn 2 . D’où n 1 Wn
2. Par IPP : I
n 1
π
. Par l’absurde, si Wn
n 2 Wn 1 Wn 2
n 1 Wn Wn 1 1 W0 W1
l
3. Vn 1
2
4. Wn 2 Wn 1 Wn , divisé par Wn . Théorème des gendarmes. Passage aux équivalents
Exercice 6 - Suite de la forme un
1. Par récurrence : un
cette limite.
2. Par récurrence : vn
1
Wn converge
n
2 Wn
2
(*)
0, n 1 Wn Wn
1
dans (*)
f un -
0; 2 ; u est croissante ;la seule limite positive possible est
0; 1 ; que v2n décroît vers 0 ; v2n
1
5
1
2
. Donc u converge vers
croît vers 1. Donc v n’admet pas de limite.
Exercice 7 - Suite définie implicitement + théorème de la bijection.
1. Tableau de variations de fn sur 0,
1
5
.
2. α0 2, α1
2
3. αn semble décroître et tendre vers 1
4. fn 1 x
fn x
0 sur 0;
. fn 1 αn
1, donc αn αn 1 .
5. αn 1. Thm de la limite monotone
6. Contradiction si αn
l 1.
Sup’Biolim - Lycée Limosin - Limoges
J.Carcenac

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