NOS CONFERENCES DU JEUDI 26 MARS AU SAMEDI 11

Chapitre 5
Sommes et produits de nombres
Math´ematiques 1-TSI
Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Dans tout le cours, on note :
• K = R ou C ;
• u0 , u1 , . . . , un des ´el´ements de K ;
n
X
• u0 + u1 + ... + un =
uk ;
• u0 × u1 × ... × un =
k=0
n
Y
uk .
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
2 / 24
Sommes et produits usuels
Plan
1
Sommes et produits usuels
Rappels
La formule du binˆ
ome
Calculs de produits `a l’aide des sommes usuelles :
2
Propri´et´es de la somme et du produit
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
Rappels
Proposition
1
1 + 2 + .. + n =
n
X
k=
k=0
2
n(n + 1)
;
2
Pour q 6= 1, 1 + q + ... + q n =
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
.
1−q
Exercice
Calculer les sommes suivantes :
(a)
n
X
1
;
2k
k=0
(b)
n−1
X
ei2kπ/n (n ≥ 2).
k=0
Cons´
equence : ∀(a; b) ∈ K2 ,
n
n
a − b = (a − b)
n−1
X
ak bn−1−k .
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
La formule du binˆ
ome
é factorielle d’un nombre :
∗
Pour n ∈ N , on pose : n! = n × (n − 1) × .... × 1 =
n
Y
k. Par convention,
k=1
0! = 1.

n!p! 6= (np)! (exemple : 2!3! = 12 6= 6!).
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
La formule du binˆ
ome
é coefficients binˆomiaux :
D´efinition
Pour (n; p) ∈ N2 , on appelle coefficients binomiaux, et on note :
d´efinis par :


n!
si p ≤ n;
n
=
p!(n − p)!
p
 0 sinon.
n
p
les nombres
Proposition
Soit n ∈ N. Alors :
1
2
pour tout p ∈ N,
!
n
= 1,
0
!
n
=
p
!
n
;
n−p
!
n
= n.
1
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
La formule du binˆ
ome
é le triangle de Pascal :
Proposition
Soient (n ; p) ∈ N2 . Alors :
Interpr´etation graphique :
p
n
0
n+1
p+1
0
1
=
n
p+1
+
n
p
1
2
3
4
5
...
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
0 0
1 0
4 1
10 5
Pascal
0
0
0
1
...
...
...
...
.
-+↑
1
1
z}|{
1
-+↑
2
3
4
5
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
1
1
1
1
z}|{
2
1
3
3
4
6
5
10
Le triangle de
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
La formule du binˆ
ome
é formule du binˆome de Newton :
Proposition
n X
n
Soient (a; b) ∈ K . Alors : (a + b) =
ak bn−k .
k
2
n
k=0
REMARQUE : Nous avons ´egalement : (a + b)n =
k=0
(a + b)n = (b + a)n .
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
n X
n
bk an−k car
k
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
La formule du binˆ
ome
é formule du binˆome de Newton :
Exercice
Donner une expression simple des sommes suivantes :
n n
X
X
n
n
k
(−1)
;
(a)
;
(b)
k
k
k=0
k=0
n
n
X
X
n
n
k
k k
(c)
2
; (d)
(−1) 2
.
k
k
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
k=0
Sommes et produits de nombres
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Sommes et produits usuels
Calculs de produits `
a l’aide des sommes usuelles :
Proposition (lien somme/produit)
!
n
X
=
ln(uk ), (u0 > 0, u1 > 0, . . . , un > 0).
k=0
k=0
!
n
n
X
Y
• exp
uk =
exp(uk ).
• ln
n
Y
uk
k=0
k=0
Exercice
Calculer :
n
Y
ek .
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
Plan
1
Sommes et produits usuels
2
Propri´et´es de la somme et du produit
Additivit´e, multiplicativit´e et multiplication par λ ∈ K
Relation de Chasles
T´elescopage
Glissement d’indice
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
Additivit´
e, multiplicativit´
e et multiplication par λ ∈ K
é additivit´e et multiplicativit´e :
Proposition
1
n
X
(uk + vk ) =
n
Y
k=0
uk +
k=0
k=0
2
n
X
uk vk =
n
Y
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
n
X
vk ;
k=0
uk ×
n
Y
vk .
k=0
Sommes et produits de nombres
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
Additivit´
e, multiplicativit´
e et multiplication par λ ∈ K
é multiplication par λ ∈ K :
Proposition
Soit λ ∈ K. Alors :
n
n
X
X
1
λuk = λ
uk ;
k=0
2
n
Y
k=0
λuk = λn+1
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
n
Y
uk .
k=0
Sommes et produits de nombres
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
Additivit´
e, multiplicativit´
e et multiplication par λ ∈ K
é exercice d’application :
Exercice
Calculer : (a)
n
X
(3k + 2k );
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
(b)
n
Y
2k.
k=1
Sommes et produits de nombres
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
Relation de Chasles
Proposition
Soit r ∈ N∗ . Alors :
1
n+r
X
uk =
k=0
n
X
uk +
k=0
n+r
X
uk ;
k=n+1
2
n+r
Y
k=0
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
uk =
n
Y
uk ×
k=0
Sommes et produits de nombres
n+r
Y
uk .
k=n+1
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
T´
elescopage
Proposition
1
n
X
(uk+1 − uk ) = un+1 − u0 ;
k=0
2
n
Y
uk+1
un+1
=
uk
u0
(u0 6= 0, u1 6= 0, . . . , un 6= 0).
k=0
Exercice
Calculer :
n
X
k=1
ln
k+1
.
k
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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Propri´
et´
es de la somme et du produit
Glissement d’indice
Proposition
1
(a)
n
X
uk+1 =
k=0
n+1
X
uk ;
k=1
(b) plus g´en´eralement, pour ` ∈ N,
n
X
uk+` =
k=0
2
n
Y
k=0
uk+` =
n+`
Y
n+`
X
uk ;
k=
uk .
k=`
Math´
ematiques 1-TSI (Lyc´
ee Pierre-Paul Riquet)
Sommes et produits de nombres
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