Fiche 2 - Maths en Prepa - Classe de Martin DEL HIERRO

Fiche n◦ 02
PTSI 07/08
Somme
1
et
Produit
Définitions
Soit (an )n∈N une suite de réels (ou complexes) On définit par récurrence la suite (Sn )n∈N
S0 = a0
et
∀n ∈ N, Sn+1 = Sn + an+1
Avec des notations peu rigoureuses cela revient à dire que
∀n ≥ 1, Sn = a0 + . . . + an
|
{z
}
n+1 termes
On note alors
∀n ∈ N,
n
X
def
ak = Sn
k=0
Remarque 1.1 Faites attention aux indices et aux variables. Ici n est une variable en revanche
k est un indice. k est une variable muette car elle joue le rôle de compteur pour étiqueter les
termes a0 , . . . , an
∗
Exercice 1. Donner la caractérisation par récurrence de la suite (Sn 0 )n∈N∗ définie par
∀n ≥ 1, Sn 0 =
n
X
ak
k=1
P
Remarque 1.2 La notation
peut s’étendre à d’autres formes d’étiquettes. Ainsi si I désigne
un ensemble d’étiquettes en quantité finie et (αi )i∈I est une famille de réels (ou complexes) indexée
par l’ensemble I. La quantité
X
αi
i∈I
désigne la somme de tous les élèments de la famille (αi )i∈I
∗
Exercice 2. Calculez en fonction de l’entier n ∈ N, la quantité
X
(−1)i
1≤i≤n
i pair
On définit par analogie avec la somme le produit. la suite (Pn )n∈N définie par récurrence par
P0 = a0
et
∀n ∈ N, Pn+1 = Pn × an+1
Avec des notations peu rigoureuses cela revient à dire que
∀n ≥ 1, Pn = a0 × . . . × an
{z
}
|
On note
∀n ∈ N,
n
Y
def
ak = Pn
k=0
Exercice 3. Ecrivez sous forme d’un produit la quantité 2006!
1
Par convention :
X
i∈∅
·i = 0
et
Y
·i = 1
i∈∅
1
Lycée J-B. Say - Martin Del Hierro
n+1 termes
alors1
Fiche n◦ 02
PTSI 07/08
2
Manipulations
Soient (ai )i∈I et (bj )j∈J deux familles indexées respectivement par I et J, soit λ un réel
quelconque.
D’après les règles de calcul classiques sur R et sur C on a, lorsque ces expressions ont un sens :
Distributivité
λ×
Ã
X
!
ai
=
i∈I
Ã
X
!
ai
X
λ × ai
et
Ã
Y
i∈I
!λ
ai
=
i∈I
i∈I
j∈J
j∈J
aλi
i∈I




X X
X

×
ai × bj  =
bj  =
i∈I
Y
X
ai × bj
(i,j)∈I×J
Regroupement par paquets
Ã
X
i∈I
!
ai
Si I et J sont disjoints Alors



Ã
! 
Y
Y
X
X
Y
ak
ak et
aj  =
+
aj  =
ai × 
j∈J
j∈J
i∈I
k∈I∪J
k∈I∪J
Changement d’indice
Soit ϕ : I → J une application telle que J soit l’ensemble des valeurs images de I par ϕ (ce
qu’on note abusivement par J = {ϕ(i), i ∈ I}) et telle que I et J aient même nombre d’éléments
(on dira alors que ϕ est bijective). le changement d’indice dans une somme s’écrit alors
Si ϕ : I → J bijective Alors
X
aϕ(i) =
i∈I
X
j∈J
aj
et
Y
aϕ(i) =
i∈I
Y
aj
j∈J
Exercice 4. En appliquant la formule de la somme d’une suite arithmétique
n
X
k=
k=0
n(n + 1)
2
Calculez la somme (1) + (1 + π) + (1 + 2 × π) + . . . (1 + 2006 × π)
P
Exercice 5. En utilisant les propriétés du symbole , montrez la formule de la somme d’une
suite géométrique de raison q 6= 1
n
X
1 − q n+1
qk =
1−q
k=0
Lycée J-B. Say - Martin Del Hierro
Exercice 6. En appliquant la formule du binôme de Newton (où a et b sont deux réels ou
complexes quelconques)
n
X
(a + b)n =
Cnk ak bn−k
k=0
Calculez la somme 2 + 2 × 2006 + 2 ×
2
C2006
1002 + C 1003
+ . . . + 2 × C2006
2006
2

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