Semaine 4 de Kholles, MP Lycée Michelet, Vanves
Loïc Devilliers
9 novembre 2014
Cours
• Théorème de décomposition des noyaux
• u est diagnoalisable si et seulement si . . . (en terme de polynôme annulateur)
• u est trigonalisable si et seulement si . . .
Exercices
Exercice 1. Montrer que GLn (R) est un ouvert dense de Mn (R), montrer que PAB = PBA où
PA est le polynôme caractéristique de A.
On remarque qu’on ne précise pas quelle norme est prise, c’est normal elles sont toutes équivalentes ici (dimension finie), cependant le candidat aurait tout intérêt à le faire remarquer à l’oral
ou à l’écrit.
Exercice 2. Soit v un endomorphisme diagonalisable d’un C-espace vectoriel E de dimension
fine :
• Montrer qu’il existe u ∈ L(E) tel que u2 = v
• Montrer qu’on peut trouver un u ∈ k[v] tel que u2 = v
• Soit B une base qui diagonalise v, soit (λi )i les valeurs propres, on pose u un endomorphisme dont la matrice dans la base B est diagonale et dont les éléments (µi )i vérifient
µ2i = λi , alors u2 = v.
• On considère P un polynôme de Lagrange qui envoie λi sur µi , ainsi u = P (v).
Exercice 3. Soient A, B ∈ Mn (C) tel que AB = 0 montrer que A et B ont un vecteur propre
en commun, puis qu’elles sont simultanément trigonalisables.
ImB → ImB
Considérons f :
, si ImB n’est pas réduit {0}, alors f admet un vecteur
x
7→ Bx
propre, et donc B admet un vecteur propre dans ImB, mais alors ce vecteur est aussi un vecteur
propre de A, car il est dans l’image de B, qui est incluse dans le noyau de A car AB = 0, si
ImB = {0}, alors B = 0 et n’importe quel vecteur propre de A fait l’affaire 1 , pour montrer le
fait qu’elles soient simultanément trigonalisables, on raisonne par récurrence sur la dimension.
A 0
Exercice 4. Soit A ∈ Mn (K), et B ∈ Mm (K) on pose C =
, à quelle condition
0 B
A A
nécessaire et suffisante C est diagonalisable ? Idem avec D =
0 A
1. Le lecteur vérifiera qu’on a bien utilisé le caractère complexe.
1
Si A, B sont diagonalisables, alors P AP −1 = D et QBQ−1 = D0 pour P, Q
in des matrices
P
0
versibles et D, D0 des matrices diagonales, on peut alors créer une matrice R =
voir que
0 Q
−1
R est inversible et calculer RCR qui sera diagonale, donc C est diagonalisable, réciproquement
si C est diagonalisable alors il existe P un polynôme scindé à racines simples tel que P (C) = 0,
en travaillant par blocs on a que P (A) = 0 et P (B) = 0 donc A, B sont diagonalisables.
Mn (K)
→
Mn (K)
Exercice 5. Soit A ∈ Mn (K) on note Φ :
, à quelle condition
M
7→ AM
nécessaire et suffisante Φ est diagonalisable ? Nilpotente ?
On remarque (par récurrence), que Φk : M 7→ Ak M , donc par combinaison linéaire P (Φ) : M 7→
P (A)M , pour tout polynôme P , ainsi Φ est diagonalisable si et seulement si il existe P scindé
à racines simple tel que ∀M, P (A)M = 0 si et seulement si P (A) = 0 si et seulement si A
diagonalisable.
De même Φ est nilpotente si et seulement si A est nilpotente.
Exercice 6. *Soit M une matrice complexe carré tel que T r(M k ) = 0 pour tout k ∈ N? , montrer
que M est nilpotente.
Exercice 7. * Soit E un espace vectoriel de dimension finie, u, v ∈ L(E) deux endomorphismes
diagonalisables tel que u ◦ v = v ◦ u, montrer qu’ils sont simultanément diagonalisables.
Exercice 8. Soit G un sous groupe de GLn (R) tel que pour tout M ∈ G on ait M 2 = In :
• Montrer que G est un groupe commutatif
• Montrer que les éléments de G sont diagonalisables
• Montrer qu’ils sont en fait simultanément diagonalisables
• Montrer que |G| ≤ 2n
• On suppose que GLn (R) est isomorphe à GLm (R) montrer que m = n
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