CORRECTION Exercice n°1 (9 points) Partie A : Préparation du triathlon 1) Natation. 1 km parcouru en 20 min, soit 0,5 km parcouru en 10 min. D'où 1,5 km parcourus en 30 min. 2) Cyclisme. a) PHS est un triangle rectangle. On peut appliquer le théorème de Pythagore. PS² = PH² + HS² 20 000² = PH² + 800² 400 000 000 = PH² + 640 000 PH² = 399 360 000 PH = √ 399360 000 PH ≈ 19 984 m. b) 3) d 800 ×100≈ ×100 ≈ 4 l 19984 La pente est de 4 % environ. p = Course à pied. D = 5 km t = 20 min = 1 h 3 D 5 = = 5×3 = 15 km/h t 1 3 Totalité du triathlon. V = 4) Épreuves Temps prévus Natation Cyclisme Course à pied Total du triathlon 0 h 30 min 1 h 30 min 0h 40 min 2 h 40 min Partie B : Après le triathlon 1) 2) a) Rémi n'a pas respecté ses prévisions. Il a mis 2h 40min au lieu de 2h 30min. b) Il a fait mieux que prévu en cyclisme : 1h 25min au lieu de 1h 30min. Exercice n°2 (5 points) 1) Avec 5 Programme A : 5 → 6 → 36 → 11 Programme B : 5 → 10 → 11 2) Avec 10 Programme A 10 → 11 →121 → 21 Programme B : 10 → 20 → 21 3) La formule à écrire en B3 est : = A3*2 + 1 4) Il semble que les deux programmes conduisent au même résultat. Pour le prouver, on applique les deux programmes à un nombre quelconque x. Programme A x → (x + 1) → (x + 1)² → (x + 1)² − x² Programme B : x → 2x → 2x + 1 (x + 1)² − x² = x² + 2x + 1 − x² = 2x + 1 On a bien l'égalité. Exercice n°3 (5 points) 1) 9,4 − 6,67 = 2,73 L'étendue de cette série est 2,73. Cela signifie qu'entre 2001 et 2011 le SMIC horaire a augmenté de 2,73 €. 2) La valeur médiane est 8,27 €. Cela signifie qu'il y a autant de valeurs inférieures à 8,27 € que de valeurs supérieures à 8,27 € 3) 0,16×100 ≈ 2,4 6,67 Entre 2001 et 2002, le SMIC augmenté de 2,4 % environ. 0,19×100 ≈ 2,25 8,44 Entre 2007 et 2008, le SMIC augmenté de 2,25 % environ. Donc Paul se trompe. Exercice n°4 1) V V V V (6 points) 1 ×B×h 3 1 = × AB × AD × SH 3 1 = × 1,2 × 1,6 × 2,4 3 = 1,536 m3. = 2) Les droites (SA) et (SD) sont sécantes en S. E ∈ (SA), F ∈(SD) et (EF) // (AD) On peut appliquer le théorème de Thalès. SE SF EF = = SA SD AD 1,95 EF = 2,6 1,6 1,95×1,6 EF = 2,6 EF =1,2 m 3) Dans le triangle rectangle SHD: SH 2,4 12 cos   DSH = = = SD 2,6 13 d'où  DSH ≈23 ° 4) [SA], [SB], [SC], [SD] → 4 tiges [AB] et [AD] → 1 tige [BC] et [CD] → 1 tige [EF] → 1 tige Il faut prévoir 7 tiges de bambou. Exercice n°5 1) Réponse c 2) Réponse c 3) Réponse b 4) Réponse c 5) Réponse b QCM (5 points) Exercice n°6 (5 points) Calculs de CD et BD : [BC] est un diamètre du cercle et le point D appartient au cercle. Propriété: Si l'on joint un point d'un cercle aux deux extrémités d'un diamètre alors on obtient un triangle rectangle en ce point. Donc le triangle BCD est rectangle en D. On peut appliquer le théorème de Pythagore. BC² = BD² + CD² Étant donné que BD = CD (triangle isocèle), on peut écrire: BC² = 2 CD² 12² = 2 CD² 144 = 2 CD² d'où CD² = 72 CD =  72 CD = 6  2 cm. Calculs de BF et EF: Les droites (BD) et (CD) sont sécantes en B. Les points E et F appartiennent respectivement aux droites (BC) et (BD). On sait que (EF) est parallèle à (CD). On peut appliquer le théorème de Thalès. BE BF EF = = BC BD CD 9 BF EF = = 12 6 √ 2 6 √ 2 9×6 √ 2 9 √ 2 = cm D'où BF= EF= 12 2 Calcul de FD: FD=BD BF=6 √ 2 9√2 3√2 = cm 2 2 Calcul de la longueur de la ligne CDFEA: AE+EF+ FD+DC 9 2 3 2 = 3+ √ + √ +6 √ 2 2 2 = 3+12 √ 2 cm La ligne CDFEA est prolongée par « sa symétrique » par rapport à A. La longueur totale de la ligne sur laquelle on plantera des rosiers est donc égale à 24 √ 2+6 mètres soit 39,9 m environ. Calcul du nombre de rosiers : 39,9÷0,4≈100 Il faut prévoir 100 rosiers environ. Exercice n°7 (4 points) On considère le triangle GIJ On sait que ̂ JGI=110 ° et que ̂ GIJ=30 ° . Propriété : Dans tout triangle la somme des trois angles vaut 180°. Donc ̂ GJI=180 110 30=40 ° JGIH étant un parallélogramme les droites (GJ) et (HI) sont, par définition, parallèles. Les droites (GJ) et (HI), coupées par la sécante (IJ), forment deux angles alternes internes ̂ GJI et ̂ JIH . Propriété : Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes internes obtenus sont égaux. ̂ Donc GJI = Ĵ IH = 40°.