Corrigé - Maths à Saint Martin

Corrigé des Épreuves Communes de mathématiques
Coefficient: 2
Calculatrice autorisée
4ème
1h 30min
mercredi 5 février 2014
La présentation et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans le devoir (2 points). En particulier, il est conseillé
d’aérer sa copie et d’encadrer (ou de souligner) vos résultats. Les détails de tous les calculs ou raisonnements sont demandés.
Partie 1 : Numérique (19 points)
. Exercice 1
Calculer en donnant tous les détails. Le résultat sera donné sous forme entière ou fractionnaire simplifiée.
(6 points) :
• A = (−7) + (−2 + 4) × (3 − 8)
A = −7 + 2 × (−5)
A = −7 − 10
A = −17 (l pt)
5 12
×
4 35
5 4×3
E= ×
4 5×7
3
E = (0,5 pt)
7
7 49
• F=
:
18 63
7 63
F=
×
18 49
7
9×7
F=
×
2×9 7×7
1
F = (l pt)
2
µ ¶4
−1
• G=
2
(−1)4
G=
24
1
G=
(0,5 pt)
16
6 + 8 × (−7)
−13 × (−2) − 21
6 − 56
B=
26 − 21
−50
B=
5
B = −10 (l pt)
• E=
• B=
3
5
−2+
7
14
6 28 5
C=
−
+
14 14 14
−22 5
C=
+
14
14
−17
(l pt)
C=
14
µ
¶
5
5 2
• D= × −
4
3 9
µ
¶
5
15 2
D= ×
−
4
9 9
• C=
5 13
×
4 9
65
D=
(l pt)
36
D=
. Exercice 2
(4 points) :
Exprimer sous forme a n (a étant un entier positif et n un entier relatif ) en détaillant :
6
6
6
6
a) 2 × 5 = (2 × 5) = 10 (0,5 pt)
b) 32 × 34 = 32+4 = 36 (0,5 pt)
µ ¶7
127
12
c) 7 =
= 47 (0,5 pt)
3
3
d) 53 × 5 × 5−5 = 53 × 51 × 5−5 = 53+1−5 = 5−1 (0,5 pt)
e)
105
= 105−2 = 103 (0,5 pt)
102
f)
53
= 53−(−7) = 53+7 = 510 (0,5 pt)
5−7
g) (10−3 )−4 = 10−3×(−4) = 1012 (0,5 pt)
h)
103 × 10−4
103−4
10−1
=
=
= 10−1−3 = 10−4 (0,5 pt)
10−2 × 105 10−2+5
103
. Exercice 3
(4 points) :
25 × 106 × 3 × 10−2
.
150 × 108
Calculer A en détaillant, et donner l’écriture décimale, puis scientifique du résultat.
25 × 3 × 106−2
A=
25 × 3 × 2 × 108
3 Ï Soit A =
1 Ï On donne G = 4 210. Recopier et compléter :
a) G = 42, 1 × 102 (0,5 pt)
b) G = 4 210 000 × 10−3 (0,5 pt)
104
2 × 108
1
A = × 104−8
2
A=
2 Ï Écrire sous forme décimale :
a) 0, 005 879 4 × 104 = 58, 794 (0,5 pt)
A = 0, 5 × 10−4
b) 23, 08 × 10−3 = 0, 023 08 (0,5 pt)
A = 5 × 10−1 × 10−4
A = 5 × 10−1−4
A = 5 × 10−5 : écriture scientifique de A
A = 0, 000 05 : écriture décimale de A (2 pts)
. Exercice 4
En expliquant votre raisonnement, déterminer le signe des expressions suivantes :
(2 points) :
a) A = (−1)4 . A est un produit de quatre facteurs négatifs, le nombre quatre étant pair, A est positif. (1 pt)
b) B = −34 . On a B = −3×3×3×3, B est donc un produit comportant un seul facteur négatif ; le nombre un étant impair,
B est négatif. (1 pt)
. Exercice 5
Écrire les nombres suivants en notation scientifique en détaillant votre démarche (si nécessaire) :
A = 51 892, 7
B = 0, 050 347
C = 3 217 × 10−21
D = 0, 524 893 × 1017
On a, de façon directe :
A = 5, 189 27 × 104 (0,5 pt)
B = 5, 034 7 × 10−2 (0,5 pt)
C et D nécessitent quelques détails supplémentaires :
C = 3, 217 × 103 × 10−21
D = 5, 248 93 × 10−1 × 1017
C = 3, 217 × 103−21
D = 5, 248 93 × 10−1+17
C = 3, 217 × 10−18 (1 pt)
D = 5, 248 93 × 1016 (1 pt)
(3 points) :
Partie 2 : Géométrique (19 points)
. Exercice 6
DE F est un triangle rectangle en E tel que DE = 7 cm et E F = 24 cm.
I et H sont les milieux respectifs des segments [GF ] et [GD].
Le schéma ci-contre n’est pas représenté en vraie grandeur.
1 Ï Montrer que DF = 25 cm. Justifier.
Dans DE F rectangle en E , on applique le théorème de Pythagore :
DF 2 = DE 2 + E F 2
DF 2 = 72 + 242
DF 2 = 49 + 576
DF 2 = 625 p
Ainsi, DF = 625 = 25 cm. (2,5 pts)
2 Ï Calculer H I en détaillant.
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Dans le triangle DGF , les points H et I sont les milieux respectifs des côtés [GD] et [GF ]. La longueur du segment [H I ] est donc égale à la moitié
du troisième côté [DF ] :
DF 25
HI =
=
= 12, 5 cm. (4 pts)
2
2
(6, 5 points) :
E
7 cm
D
H
24 cm
G
I
F
. Exercice 7
Au lycée professionnel, Jacques et Patrick, futurs maçons, s’entrainent en
construisant un mur chacun.
Leur professeur M. Ecker vient vérifier si chaque mur est bien « droit », c’est-àdire perpendiculaire au sol.
Ayant oublié sa caisse à outils dans son atelier, il ne possède que le mètre ruban
qu’il avait dans sa poche.
Pour chacun des murs, M. Ecker place au pied du mur un point I puis un point
H à 60 cm de hauteur sur le mur et un autre point S au sol à 80 cm de I, puis il
mesure la longueur HS.
Pour le mur de Jacques il trouve 1 m et pour celui de Patrick 95 cm.
(6 points) :
1 Ï Le mur de Jacques est-t-il « droit » ? Détailler votre raisonnement.
On commence d’abord par convertir les longueurs à la même unité, le
cm semble adapté puisque seule une longueur reste à convertir et on a :
H I = 1 m = 100 cm.
Dans le triangle H I S, on calcule :
– le carré du plus long côté :
H I 2 = 1002 = 10 000.
– la somme des carrés des deux autres côtés :
H I 2 + I S 2 = 602 + 802 = 3 600 + 6 400 = 10 000
On constate alors que H I 2 = H I 2 + I S 2 et par conséquent, le triangle
H I S est rectangle en I d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
Le mur de Jacques est droit. (3,5 pts)
2 Ï Et celui de Patrick ? Justifier.
Dans le triangle H I S, on calcule :
– le carré du plus long côté :
H I 2 = 952 = 9 025.
– la somme des carrés des deux autres côtés :
H I 2 + I S 2 = 10 000 (voir question 1).
On constate alors que H I 2 6= H I 2 + I S 2 et par conséquent, le triangle
H I S n’est pas rectangle d’après la contraposée du théorème de Pythagore.
Le mur de Patrick n’est pas droit. (2,5 pts)
Mur
H
I
S
. Exercice 8
Pour trouver la hauteur d’une éolienne, on a
les renseignements suivants :
Les points O, A et C sont alignés.
Les points O, B et D sont alignés.

Les angles O
AB et AC
D sont droits.
O A = 11 m ; AC = 594 m, et AB = 1, 5 m.
Le schéma n’est pas représenté en vraie grandeur.
Le segment [C D] représente l’éolienne.
D
B
O
A
C
hauteur de l’éolienne
(6, 5 points) :
1 Ï Expliquer pourquoi les droites (AB ) et (C D) sont parallèles.
On sait que (AB ) ⊥ (OC ) et que (C D) ⊥ (OC ). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors
elles sont parallèles entre elles. Par conséquent, (AB )//(C D). (1,5 pt)
2 Ï Calculer la hauteur C D de l’éolienne. Justifier.
Les points O,A et C étant alignés, on a : OC = O A + AC = 11 + 594 = 605 m.
Dans le triangle ODC on sait que A ∈ [OC ], B ∈ [OD] et (AB )//(C D), donc, d’après le théorème de Thalès, on a :
O A OB
AB
=
=
OC OD C D
OA
AB
=
, on obtient :
OC C D
AB × OC 1, 5 × 605
CD =
=
= 82, 5 m.
OA
11
La hauteur de l’éolienne est donc de 82, 5 m. (5 pts)
De l’égalité

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