1triangle rectangle le theoreme de pythagore 1

TRIANGLE RECTANGLE : LE THEOREME DE PYTHAGORE
Activités
Calculer :
Déterminer le nombre positif a tel que :
Calculer l’aire d’un carré de côté : 4cm, 121 cm et 2,25 cm.
Donner la valeur exacte de
Donner une valeur approchée de
Donner une valeur arrondie de
: a) à l’unité par excès b) au millième par défaut
: a) au dixième b) au dix-millième.
SALLE INFORMATIQUE
1. Une démonstration historique du théorème de Pythagore.
La figure est composée de deux triangles rectangles
EFK et KLM respectivement en F et en M identiques
de telle sorte que les points F, K, M soient alignés.
On nomme
a) Démontrer que
est un angle droit
b) Ecrire en fonction de a, b, c l’aire des triangles EFK,
KLM, EKL.
c) Démontrer que le quadrilatère EFML est un trapèze de
bases [EF] et [LM].
d) Calculer l’aire de EFML de deux façons différentes.
e) Démontrer que
.
A retenir
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés.
On vérifie que le triangle est bien rectangle : ici, il est rectangle en B.
L’hypoténuse est donc le côté [AC].
La relation de Pythagore donne :
Ou aussi :
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Exemples
Calculer la longueur de l’hypoténuse du triangle PNI
rectangle en P tel que :
et
On sait que le triangle est rectangle en P. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore.
On a alors l’égalité :
On remplace par les valeurs numériques données dans l’énoncé.
On a :
On a besoin de la notion de racine carrée, notion de la classe de 3ème .
On va donc utiliser quand cela est nécessaire la calculatrice et la touche
.
Cette valeur trouvée est celle qui, une fois mise au carré, vaut le nombre donné.
On écrit donc
= 3,5.
(
L’hypoténuse
mesure 3,5 cm.
Calculer la longueur du côté manquant du triangle LOU
rectangle en L tel que :
et
On sait que le triangle est rectangle en L. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore.
On a alors l’égalité :
On remplace par les valeurs numériques données dans l’énoncé.
On a :
(
)
On va utiliser la calculatrice et la touche
. Dans ce cas, la réponse n’est pas un nombre
décimal.
On donne donc une valeur approchée, en respectant les consignes de l’énoncé.
On écrit donc
(
Le côté
soit environ
mesure
m ( valeur exacte )
au décimètre près ou au dixième près.
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2. Montrer qu’un triangle est rectangle.
Que penser de ce triangle ?
A retenir
Propriété
Dans un triangle,
si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
Le plus grand côté devient alors l’hypoténuse de ce triangle.
C’est la réciproque du théorème de Pythagore.
Exemple
Montrer que le triangle SET tel que
Le plus grand côté est
Les autres côtés sont
cm ,
cm et
cm est rectangle.
, on a :
et
, on a :
On remarque que :
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en S.
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3. Montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
Que penser de ce triangle ?
A retenir
Propriété
Dans un triangle,
si le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.
Exemple
Montrer que le triangle IJK tel que IK = 11 cm, IJ = 5 cm et JK = 10 cm n’est pas rectangle.
Le plus grand côté est
Les autres côtés sont
, on a :
et
, on a :
On remarque que :
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée donc le triangle n’est pas rectangle.
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