4ème - Correction du DS 3

4ème
I_
A=
Correction du contrôle d'une heure n°3
Effectuer les calculs suivants et donner des résultats sous forme de fractions simplifiées :
5
7
3
4
4
5
A=
+
–
+
; B=2+
–
18
6
2
9
7
4
5
7
3
4
5
7×3
3×9
4×2
5
21
27
8
34
27
7
+
–
+
=
+
–
+
=
+
–
+
=
–
=
18
6
2
9
18
6×3
2×9
9×2
18
18
18
18
18
18
18
B=2+
II_
20/01/14
2×28
4×4
5×7
56
16
35
72
35
37
4
5
–
=
+
–
=
+
–
=
–
=
7
4
1×28
7×4
4×7
28
28
28
28
28
28
3
des cartes d'un jeu à 4 joueurs. Chaque joueur reçoit le même nombre de cartes.
4
Quelle fraction du nombre de cartes du jeu chaque joueur reçoit-il ?
Léo distribue les
1
3
3
3
÷4 = × =
16
4
4 4
Chaque joueur reçoit
3
des cartes du jeu.
16
III_ Un rectangle a une aire de
45 2
18
m et une longueur de
m. Quelle est sa largeur ?
21
7
Aire d'un rectangle = Longueur×largeur
donc
largeur =
Aire
Longueur
7
9×5×7
5
45 18
45
÷
=
×
=
=
18
3×7×2×9
6
21
7
21
5
La largeur du rectangle est de
m.
6
IV_ EFG est un triangle dont les dimensions en cm sont :
EF =
3
;
4
1. Démontrer que le triangle EFG est rectangle.
2. Calculer l'aire et le périmètre du triangle EFG.
1.
Nous savons que:
[AEG] est le plus grand côté du triangle EFG. Comparons EG2 et EF2 + FG2.
25
5
5
5 2
EG2 = ( ) = × =
16
4
4
4
2
3 3
9
16
25
3
EF2 + FG2 = ( ) + 12 = × + 1 =
+
=
4
16
16
16
4
4
On constate que EG2 = EF2 + FG2
Utilisons le théorème réciproque de Pythagore.
En conclusion:
EFG est un triangle rectangle en F.
2.
FG = 1 ;
EG =
5
4
3
×1
EF×FG
1
3
3
3
Aire de EFG =
= 4
= ÷2 = × =
2
8
4
4 2
2
3
L'aire du triangle EFG est de
cm2.
8
4
12
3
5
3
5
+1+
=
+
+
=
=3
4
4
4
4
4
4
Le périmètre du triangle EFG est de 3 cm.
Périmètre de EFG = EF + FG + EG =
V_
On considère la figure cicontre où A'B'C' est un
agrandissement de ABC.
Compléter le QCM en
entourant la bonne réponse
de chaque site.
Le coefficient d'agrandissement est
A' C '
15
=
=3
AC
5
La longueur A'B' vaut :
1 cm
6 cm
3×3cm = 9 cm
La longueur BC vaut :
6 cm
12cm÷3 = 4 cm
36 cm
L'angle ̂
ACB mesure :
36°
12°
108°
18 cm2
2 cm2
9×6cm2 = 54 cm2
L'aire de A'B'C' est :
VI_ Le phare de Cordouan est situé à l'embouchure de l'estuaire
de la Gironde.
Pour mesurer la hauteur du phare, un promeneur a planté un
piquet dans le sol. Il a attendu que les ombres du piquet et du
phare coïncident (ici en D).
On suppose que le piquet et le phare sont parallèles.
Déterminer la hauteur du phare.
Nous savons que :
Dans le triangle DEC :
•
G ∈ [DC].
•
F ∈ [DE].
•
(FG) // (EC).
Utilisons le théorème de Thalès.
FG
DF
DG
Donc :
=
=
EC
DE
DC
Or F ∈ [DE] donc DE = DF + FE = 2m + 83m = 85m
1,6
2
85×1,6
=
donc EC =
= 68
EC
85
2
La hauteur du phare de Cordouan est de 68 m.
VII_ Sur la figure ci-contre qui n'est pas à l'échelle, on a :
(MN)//(BC), AB = 10 cm, AN = 4 cm, NM = 3 cm,
AD = 4,8 cm et DC = 6,4 cm.
1. Prouver que AC = 8 cm.
2. Prouver que BC = 6 cm.
3. Prouver que ABC est rectangle.
1.
Nous savons que:
ADC est un triangle rectangle en D.
Utilisons le théorème de Pythagore.
En conclusion:
AC2 = AD2 + DC2 = 4,82 + 6,42 = 23,04 + 40,96 = 64
AC = √64 = 8
La longueur du segment [AC] est de 8 cm.
2.
Nous savons que :
Dans le triangle ACB :
•
N ∈ [AC].
•
M ∈ [AB].
•
(MN) // (CB).
Utilisons le théorème de Thalès.
AN
AM
MN
Donc :
=
=
AC
AB
BC
4
AM
3
3×8
=
=
donc BC =
=6
8
AB
BC
4
La longueur du segment [BC] est de 6 cm.
3.
Nous savons que:
[AB] est le plus grand côté du triangle ABC. Comparons AB2 et CA2 + CB2.
AB2 = 102 = 100
CA2 + CB2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100
On constate que AB2 = CA2 + CB2
Utilisons le théorème réciproque de Pythagore.
En conclusion:
ABC est un triangle rectangle en C.
Bonus :
Les points A, B et C ont pour abscisses respectives
1×3
3
1
=
=
4×3
12
4
;
1 1
5
,
et
. Sont-ils régulièrement espacés ? Justifier.
4 3
12
1×4
4
1
=
=
3×4
12
3
Les abscisses de A et B et de B et C sont séparées par
Les points A, B et C sont donc régulièrement espacés.
1
.
12

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