DM 1 Première S1 On se place dans un triangle ABC et on appelle H le pied de la hauteur issue de A . On suppose que AH = 4 cm , CH = 3 cm , BH = 5 cm . Par un point M du segment [AC] on fait passer une droite parallèle à (AH) qui coupe (CH) en N. On désigne par x la longueur du segment [AM] (en centimètre) 1) a) Th de Pythagore dans le triangle AHC : AC 2=AH 2CH 2 d'où AC 2=25 et AC=5 b) M est un point du segment [AC] donc x varie entre 0 et 5 c) Points A , M , C alignés dans l'ordre donc CM = AC – AH = 5 – x d) Théorème de Thalès dans les triangles CMN et CAH : CM CN MN 5 – x CN MN = = = = : ce qui CA CH AH 5 3 4 3 4 donne CN=3 – x et MN = 4 – x 5 5 2) a) triangle rectangle BMN : MB2 =MN2 NB2 = 4 – 2 4– 4 3 x 5 x 5 5 2 = 16 – 2 2 4 4 2 2 x BHHN = 4 – x 53 – CN = 5 5 32 16 9 2 x x2256x x2 = 41 – xx2 5 25 25 5 b) A l'aide de votre calculatrice, déterminer les valeurs de MB2 lorsque x varie de 0 à 5 avec un pas de 0,1 Quelle semble être la valeur de x qui rend MB2 minimale ? c) 2 2 1 1024 2 1 1024 2 2 = x – x = x – x41 = MB2 x– 5 25 25 5 5 25 2 3) On pose, pour tout x de [ 0 ; 5 ], f(x) = x – 2 x41 5 a) Dresser le tableau de variation de f f est un polynôme du second degré avec a = 1 > 0 donc f est décroissante puis croissante . De plus, la courbe représentant f est une parabole de sommet S M. Philippe 1 1024 ; 5 25 (on utilise la forme canonique obtenue à Page 1 / 2 la question 2) c) d'où : ] f est décroissante sur – ∞ ; x –∞ f '(x) ] [ 1 1 ;∞ et croissante sur 5 5 1/5 – f(x) 0 [ +∞ + 1024/25 b) D'après le tableau, f atteint son minimum pour x = 1/5 et il vaut 1024/25 c) Il faut donc AM = 1/5 et la distance MB = 32 1024 = . 5 25 d) Placer le point M sur votre figure . Conjecturer alors la nature du triangle AMB et démontrer votre conjecture On calcule AB dans le triangle rectangle AHB grâce au th de Pythagore : AB 2=4252 = 41 1 32 1024 2 2 On a aussi AM = 1/5 donc AM = et MB= donc MB = d'où 25 5 25 1025 AM 2 MB2= =41 = AB 2 et le triangle AMB est rectangle en M d'après la réciproque du théorème de 25 Pythagore M. Philippe Page 2 / 2
© Copyright 2024 ExpyDoc