corrige - M. Philippe.fr

DM 1
Première S1
On se place dans un triangle ABC et on appelle H le pied de la hauteur issue de A .
On suppose que AH = 4 cm , CH = 3 cm , BH = 5 cm .
Par un point M du segment [AC] on fait passer une droite parallèle à (AH) qui coupe (CH) en N.
On désigne par x la longueur du segment [AM] (en centimètre)
1) a) Th de Pythagore dans le triangle AHC : AC 2=AH 2CH 2 d'où AC 2=25 et AC=5
b) M est un point du segment [AC] donc x varie entre 0 et 5
c) Points A , M , C alignés dans l'ordre donc CM = AC – AH = 5 – x
d) Théorème de Thalès dans les triangles CMN et CAH :
CM CN MN 5 – x CN MN
=
=
=
=
:
ce qui
CA CH AH
5
3
4
3
4
donne CN=3 – x et MN = 4 – x
5
5

2) a) triangle rectangle BMN : MB2 =MN2 NB2 = 4 –

 
2
4–
4
3
x  5 x
5
5

2
= 16 –


2

2
4
4
2
2
x BHHN = 4 – x 53 – CN =
5
5
32
16
9
2
x x2256x x2 = 41 – xx2
5
25
25
5
b) A l'aide de votre calculatrice, déterminer les valeurs de MB2 lorsque x varie de 0 à 5 avec un pas de 0,1
Quelle semble être la valeur de x qui rend MB2 minimale ?
c)
 
2
2
1 1024
2
1
1024
2
2
= x – x 
= x – x41 = MB2
x– 
5
25
25
5
5
25
2
3) On pose, pour tout x de [ 0 ; 5 ], f(x) = x –
2
x41
5
a) Dresser le tableau de variation de f
f est un polynôme du second degré avec a = 1 > 0 donc f est décroissante puis croissante .

De plus, la courbe représentant f est une parabole de sommet S
M. Philippe
1 1024
;
5 25

(on utilise la forme canonique obtenue à
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la question 2) c) d'où :
]
f est décroissante sur – ∞ ;
x
–∞
f '(x)
]
[
1
1
;∞
et croissante sur
5
5
1/5
–
f(x)
0
[
+∞
+
1024/25
b) D'après le tableau, f atteint son minimum pour x = 1/5 et il vaut 1024/25
c) Il faut donc AM = 1/5 et la distance MB =

32
1024
=
.
5
25
d) Placer le point M sur votre figure . Conjecturer alors la nature du triangle AMB et démontrer votre
conjecture
On calcule AB dans le triangle rectangle AHB grâce au th de Pythagore : AB 2=4252 = 41
1
32
1024
2
2
On a aussi AM = 1/5 donc AM =
et MB=
donc MB =
d'où
25
5
25
1025
AM 2 MB2=
=41 = AB 2 et le triangle AMB est rectangle en M d'après la réciproque du théorème de
25
Pythagore
M. Philippe
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