TRIANGLE : MILIEUX ET PARALLÈLES

C2 Triangles et milieux
Quatrième
Cours
C HAPITRE II
T RIANGLE : MILIEUX ET PARALLÈLES
Numéro
G1
G2
G3
G4
G5
Triangles et milieux
Connaître et utiliser le théorème des milieux
Connaître et utiliser le théorème sur la longueur du segment joignant deux milieux
Connaître et utiliser le théorème avec un milieu et des droites parallèles
Construction et soin des figures géométriques
Construire et rédiger une démonstration de plusieurs étapes
Pour moi
ä
ä
ä
ä
ä
G1 : Utiliser le théorème de la droite des milieux pour démontrer que deux droites
sont parallèles.
Premier théorème de la droite des milieux
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
Exemple :
• Dans le triangle MNP, E est le milieu de [MN], F est le milieu de [MP].
• Or, dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
• On peut donc en conclure que les droites (EF) et (NP) sont parallèles.
P
P
=⇒
F
F
N
N
M
N. SANS
M
E
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E
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C2 Triangles et milieux
Quatrième
Cours
G2 : Utiliser le théorème de la droite des milieux pour calculer des longueurs.
Second théorème de la droite des milieux
Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés alors il mesure la moitié de la longueur du troisième
côté.
Exemple :
On a tracé le triangle TRI tel que TR= 6 cm, RI= 5 cm et TI= 7 cm.
• Dans ce triangle TRI, M est le milieu de [TI], N est le milieu de [IR].
• Or, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur
du troisième côté.
• Donc, la longueur du segment [MN] est égale à la moitié de celle du côté [TR] : MN =
R
cm
R
5c
=⇒
m
6
TR 6
= = 3 cm.
2
2
N
6
cm
N
3
T
I
M
7 cm
T
cm
I
M
G3 : Utiliser la réciproque du théorème de la droite des milieux pour montrer
qu’un point est milieu d’un segment.
Réciproque du premier théorème de la droite des milieux
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Exemple :
• Dans le triangle HGD tel que O soit le milieu de [HD], la droite (d) est parallèle au côté [HG] passant par O.
De plus, cette droite (d) coupe le côté [GD] en un point P.
• Or, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté, et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe
le troisième côté en son milieu.
• Donc, la droite (d) coupe le côté [GD] en son milieu, et P est le milieu de [GD].
D
(d)
D
O
=⇒
P
H
(d)
O
P
H
G
N. SANS
G
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