Dans le triangle RMN , [MN] est le plus grand côté.... MN

SYNTHÈSE
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Sur un cercle ?
a. Construis la figure ci-contre
D
en vraie grandeur :
C
AB = 4,2 cm ; AC = 3,4 cm ;
CD = 2,1 cm et BD = 5 cm.
A
9
B
Médiane et Pythagore
K ∈ [MN] ;
MP = 4 cm ;
KP = 6,5 cm et
MK = PK = NK.
K
M
N
P
a. Démontre que le triangle MPN est rectangle.
Dans le triangle MNP :
La droite ( PK) passe par le sommet P et par le milieu du côté
opposé : c'est donc une MEDIANE.
Dans un triangle , si une médiane relative à un sommet est
EGALE à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle
est rectangle en ce sommet.
Ici , MN = 2 × PK
Donc MNP est rectangle en P.
b. Calcule l'arrondi de BC au dixième. Justifie.
Dans le triangle ABC rectangle en A , on a d'après le théorème
de Pythagore : CB ² = AC ² + AB ²
CB² = 3,4² + 4,2² = 29,2
CB =
29,2
𝑪B ≈ 5, 𝟒 𝒄𝒎
c. Le triangle CDB est-il rectangle ?
Dans le triangle CDB : CD est le plus grand côté ...
CB ² = 29,2
CD ² + BD ² = 2,1²+5² = 29,41
𝑪𝑩² ≠ 𝑪𝑫² + 𝑩𝑫²
Donc d'après la contraposée de Pythagore , le triangle CBD
n'est pas rectangle .
d. Les points A, B, C et D sont-ils cocycliques
(c'est-à-dire situés sur un même cercle) ? Si oui,
précise le centre et le rayon de ce cercle.
Le triangle ABC est rectangle en A , il est donc
inscrit dans le
cercle de diamètre [CB].
Le triangle CBD n'est pas rectangle en D, il n'est
donc pas
inscrit dans le cercle de diamètre [CB].
Les points A,B,C et D ne sont donc PAS Cocycliques.
b. Calcule PN (valeur arrondie au dixième de
centimètre).
K est le milieu de [MN] alors MN = 2 × 6,5 = 13
Dans le triangle MPN rectangle en P , on a d'après le théorème
de Pythagore : MN ² = PM ² + PN ²
13 ² = 4 ² + PN ²
PN ² = 169 - 16 = 153
PN = 153
PN ≈ 12, 𝟒 𝒄𝒎
c. R est un point tel que RM = 12 cm et
RN = 5 cm.
Le point R appartient-il au cercle de centre K
passant par P ? Justifie.
Dans le triangle RMN , [MN] est le plus grand
côté....
MN ² = 13 ²= 169
MR ² + NR ² = 12 ² + 5 ² = 169
Le triangle MNR est donc rectangle en R.
Le triangle MNR est donc inscrit dans le cercle
de diamètre [MN] tout comme le triangle
rectangle MPN.
Le point R appartient au cercle de centre K
( milieu de [MN].

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