CSC_ArtPrim_14avril15_Mise en page 1

Ex130 p49
3
Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 2 et u n+1 = − 𝑢
2
𝑛 −3
𝑢 −2
et ( v n ) définie par v n = 𝑢𝑛 −1 ∀ 𝑛 ∈ℕ
𝑛
a) Montrons par récurrence que 1 < u n < 2 ∀ 𝒏 ∈ℕ
3
u 0 = 2 donc 1 < u 0 < 2
supposons que pour un rang n , 1 < u n < 2 , montrons alors que 1 < u n+1 < 2
u n+1 = − 𝑢
2
2
𝑛 −3
= f( u n ) avec f(𝑥) = − 𝑥−3 f est dérivable sur ]1 ;2[ f’(𝑥) =
−2×(−1)
(𝑥−3)²
2
= (𝑥−3)² 2>0 et (𝑥-3)² >0 sur ]1 ;2[
donc f’ >0 sur ]1 ;2[ donc f est strictement croissante sur ]1 ;2[
D’après l »hypothèse de récurrence 1 < u n < 2 pour un n donné et f croissante sur ]1 ;2[
Donc f(1) < f(u n ) < f(2)
donc 1 < u n+1 < 2
Donc par hérédité 1 < u n < 2 ∀ 𝒏 ∈ℕ
b) u n+1 – u n = −
𝟐
−
𝒖𝒏 −𝟑
un =
Etude du signe de –x² +3x-2
x
-∞
–x² +3x-2
−
1 < u n < 2 ∀ 𝑛 ∈ℕ
1
0
donc
−𝑢𝑛 2 + 3𝑢𝑛 − 2 > 0
−𝟐−𝒖𝒏 𝟐 +𝟑𝒖𝒏
𝒖𝒏 −𝟑
∆= 9 − 4 × (−2) × (−1) = 1 x1 = 2
2
0
+
c) v n+1 =
𝒖𝒏+𝟏 −𝟐
𝒖𝒏+𝟏 −𝟏
−2
−2
𝑢𝑛 −3
−2
−1
𝑢𝑛 −3
=
+∞
−
𝑒𝑡 𝑢𝑛 − 3 < 0 ∀ 𝑛 ∈ ℕ
Donc u n+1 – u n < 0 ∀ 𝒏 ∈ ℕ
x2 = 1
comme 1 < u n < 2 ∀ 𝑛 ∈ℕ
-2 < u n- - 3 < -1
dc
donc la suite ( u n ) est décroissante
=
−2−2𝑢𝑛 +6
𝑢𝑛 −3
−2−𝑢𝑛 +3
𝑢𝑛 −3
=
−2𝑢𝑛 +4
−𝑢𝑛 +1
=
−2
−1
×
𝑢𝑛 −2
𝑢𝑛 −1
= 2vn
donc la suite ( v n ) est une suite géométrique de raison q =2 et de premier terme v 0 =
𝒖𝟎 −𝟐
𝒖𝟎 −𝟏
𝑢 −2
=
𝟑
−𝟐
𝟐
𝟑
−𝟏
𝟐
= -1
𝒗 −𝟐
d) v n = 𝑢𝑛 −1 donc v n ( u n -1 ) = u n -2 soit vn u n – v n = u n -2 soit u n ( v n -1 ) = v n -2 soit u n = 𝒗𝒏 −𝟏
𝑛
𝒏
or ( v n ) est une suite géométrique de raison q =2 et de premier terme v 0 =
donc v n = -1 × 𝟐𝒏
𝒗 −𝟐
donc u n = 𝒗𝒏 −𝟏 =
𝒏
−𝟐𝒏 −𝟐 𝟐𝒏 +𝟐
=
−𝟐𝒏 −𝟏 𝟐𝒏 +𝟏
𝑢0 −2
𝑢0 −1
=
3
−2
2
3
−1
2
∀ 𝒏 ∈ℕ
e) la suite ( u n ) est minorée par 1 et décroissante donc ( u n ) converge vers un réel L
lim u n = lim
𝟐𝒏 +𝟐
𝟐𝒏 +𝟏
n→ +∞ n→ +∞
car lim 1 +
2
2𝑛
n→ +∞
𝟐
=lim
𝟐𝒏 (𝟏+ 𝒏 )
𝟐
𝟏
𝟐𝒏 (𝟏+ 𝒏 )
𝟐
n→ +∞
= lim 1+
n→ +∞
1
2𝑛
𝟐
= lim
𝟏+ 𝒏
𝟐
𝟏
𝟏+ 𝒏
𝟐
= 1
n→ +∞
2
1
= 1 car lim 2𝑛 = lim 2𝑛 = 0 car lim 2n = + ∞
n→ +∞
n→ +∞
n→ +∞
= -1
Ex113 p 45
1
1
,∀𝑛 ∈ℕ
( u n ) est la suite définie par u0 = -1 et u 1 = 2 et u n+2 = u n+1 - 4 u n
𝟏
u 2 = u 1- 𝟒 u0 =
1
2
u1 – u0 =
𝑢1
𝑢0
=
3
–(-1) = 2
𝑢2
1
−2
𝟏
𝟏
−𝟒×
𝟐
=
𝑢1
3
4
1
2
(−𝟏) =
𝟑
𝟒
3
4
−
u2 – u1 =
3
=
2
1
2
1
= 4 donc u2 – u1 ≠ u1 – u0 donc la suite ( u n ) n’est pas une suite arithmétique
𝒖𝟐
donc
≠ 𝒖𝒖𝟏
𝒖𝟏
donc la suite ( u n ) n’est pas une suite géométrique
𝟎
1
2
2) Soit la suite ( v n ) définie par v n = u n+1 - u n
𝟏
𝟏
𝟏
a) v 0 = u 1 - 𝟐 u 0 = 𝟐 − 𝟐 × (−𝟏) = 𝟏
𝟏
𝟐
1
4
1
2
b) v n+1 = u n+2 - u n+1 = u n+1 - u n - u n+1 =
1
2
1
4
u n+1 - u n =
1
2
1
2
𝟏
𝟐
(u n+1 - u n ) =
vn ∀𝑛 ∈ℕ
𝟏
c) donc la suite ( v n ) est une suite géométrique de raison q= 𝟐 et de premier terme v 0 = 1
𝟏
𝟐
d) donc v n = v0 × 𝑞 𝑛 = 𝟏 × ( )𝒏
∀𝑛 ∈ℕ
𝑢
3) soit la suite ( w n ) définie par w n = 𝑣 𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ
𝑛
𝒖
a) w 0 = 𝒗𝟎 = -1
𝟎
b) w n+1 =
𝒖𝒏+𝟏
𝒗𝒏+𝟏
=
1
2
𝑣𝑛 + 𝑢𝑛
1
×𝑣𝑛
2
=
𝑣𝑛
+
1
×𝑣𝑛
2
1
𝑢
2 𝑛
1
×𝑣𝑛
2
∀𝑛 ∈ℕ
= 2 + wn
d) donc la suite ( w n ) est une suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme w 0 = -1
donc w n = w0 + n r = -1 + 2 n
∀𝒏 ∈ℕ
𝑢
4) w n = 𝑣𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ
𝑛
donc
𝟏
𝟐
u n = wn × v n = ( 2n -1) × ( )𝒏 = ( 2n -1) ×
5) S n = ∑𝑛𝑘=0 𝑢𝑘
𝟏
𝟐𝒏
Montrons par récurrence que S n = 2 -
Etape 1 : S0 = ∑0𝑘=0 𝑢𝑘 = u 0 = -1
2-
2×0+3
20
=
𝟐𝒏−𝟏
𝟐𝒏+𝟑
𝟐𝒏
∀𝒏 ∈ℕ
= 2 - 3 = -1
Etape 2 Supposons que pour un rang n donné , S n = 2 -
∀𝒏 ∈ℕ
𝟐𝒏
𝟐𝒏+𝟑
𝟐𝒏
S n+1 = ∑𝑛+1
𝑘=0 𝑢𝑘 = u 0 + u 1 + …. + u n + u n+1 = S n + u n+1 = 2 -
donc S 0 = 2 -
, montrons alors que S n+1 = 2 2𝑛+3
2𝑛
+
2(𝑛+1)−1
2𝑛+1
d’après l’hypothèse de récurrence et d’après 4)
S n+1 = 2 -
2(2𝑛+3)
2𝑛 ×2
+
2𝑛+2−1
2𝑛 ×2
= 2+
Etape 3 : donc par hérédité S n = 2 -
−4𝑛−6+2𝑛+1
2𝑛 ×2
𝟐𝒏+𝟑
𝟐𝒏
= 2+
∀𝒏 ∈ℕ
−2𝑛−5
2𝑛+1
𝟐×𝟎+𝟑
𝟐𝟎
= 2-
2𝑛+5
2𝑛+1
𝟐(𝒏+𝟏)+𝟑
𝟐𝒏+𝟏
=2-
𝟐𝒏+𝟓
𝟐𝒏+𝟏
Ex 119 (un ) est une suite définie par u0 = 3 et u n+1 =
et (vn ) est une suite définie par v0 = 4 et v n+1 =
1) u 1 =
u2=
𝒖𝟎 +𝒗𝟎
𝟐
𝒖𝟏 +𝒗𝟏
𝟐
𝟕
=
=
=3,5 et v 1 =
𝟐
𝟕 𝟏𝟓
+
𝟐 𝟒
𝟐
=
𝟐𝟗
𝟖
2) a) dans B3 =(B2+C2)/2
𝒖𝟏 +𝒗𝟎
𝟐
=
𝟕
+𝟒
𝟐
=3,625 et v 2 =
2
𝑢𝑛+1 +𝑣𝑛
2
=
𝟐
𝑢𝑛 +𝑣𝑛
𝟏𝟓
𝟒
𝒖𝟐 +𝒗𝟏
𝟐
=3,75
=
𝟐𝟗 𝟏𝟓
+
𝟖
𝟒
𝟐
=
𝟓𝟗
=3,6875
𝟏𝟔
dans C3 = ( B3+C2)/2
on constate que la suite ( un ) et ( v n )
convergent vers un réel L =
𝟏𝟏
𝟑
proche de
3,67
c) dans D2 = C2-B2
dans E2 = ( B2+2*C2)/3
on conjecture que
𝟏
w n = (𝟒)𝒏
𝟏
e)montrons par récurrence que w n = (𝟒)𝒏
et t n =
𝟏𝟏
𝟑
∀ 𝒏 ∈ℕ
∀ 𝒏 ∈ℕ
1
1
(4)0 =1 Donc w n = (4)𝑛 pour n = 0
Etape 1 w0 = v0 –u 0 = 1
1
1
Etape 2 Supposons que pour un n donné w n = (4)𝑛 montrons alors que w n+1 = (4)𝑛+1
wn+1 = vn+1 –u n+1 =
𝑢𝑛+1 +𝑣𝑛
2
-
𝑢𝑛 +𝑣𝑛
2
𝑢𝑛+1 −𝑢𝑛
=
2
1
=
𝑢𝑛 +𝑣𝑛
−𝑢𝑛
2
2
=
𝑣𝑛 −𝑢𝑛
4
1
1
1
4
4
4
= × 𝑤𝑛 = × ( )𝑛
d’après
l’hypothèse de récurrence donc w n+1 = (4)𝑛+1
1
donc par hérédité w n = (4)𝑛
∀ 𝑛 ∈ℕ
montrons que ( tn ) est une suite constante t n+1 = tn ∀ 𝒏 ∈ℕ
t n+1 =
𝑢𝑛+1 +2𝑣𝑛+1
3
donc t n = t0 =
=
𝑢𝑛 +𝑣𝑛
𝑢
+𝑣
+2 𝑛+1 𝑛
2
2
𝑢0 +2𝑣0
3
3
=
11
3
=
𝑢𝑛 +𝑣𝑛
+𝑢𝑛+1 +𝑣𝑛
2
∀ 𝑛 ∈ℕ
3
=
𝑢𝑛 +𝑣𝑛 𝑢𝑛 +𝑣𝑛
+
+𝑣𝑛
2
2
3
=
𝑢𝑛 +2𝑣𝑛
3
= t n ∀ 𝑛 ∈ℕ
𝟏
𝟏
w n = vn –u n = (𝟒)𝒏
𝒖𝒏 +𝟐𝒗𝒏
tn=
𝟑
=
𝟏𝟏
𝟑
donc v n = (𝟒)𝒏 + u n
1
soit 3 u n = 11 – 2 × (4)𝑛 donc u n =
𝟏
1
v n = (𝟒)𝒏 + u n =(4)𝑛 +
1
11
3
2
1
− 3 × (4)𝑛
1
𝟏𝟏
𝟑
=
𝟐
𝟏
− 𝟑 × (𝟒)𝒏
𝟏𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
+ 𝟑 × (𝟒)𝒏
2
lim (4)𝑛 = 0 car 0 < 4 < 1
1
1
n→ +∞
𝟏𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
− 𝟑 × (𝟒)𝒏 =
n→ +∞ n→ +∞
1
donc lim − 3 × (4)𝑛 = 0 = lim 3 × (4)𝑛
n→ +∞
donc lim u n = lim
1
u n + 2((4)𝑛 + u n ) =11
donc u n + 2 vn = 11 donc
𝟏𝟏
𝟑
et lim v n = lim
n→ +∞
𝟏𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
+ 𝟑 × (𝟒)𝒏 =
n→ +∞ n→ +∞
𝟏𝟏
𝟑

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