LYCÉE JANSON DE S AILLY, PCSI
2014–2015
E XO – A NALYSE ASYMPTOTIQUE .
Calculs d’équivalents
Exercice 1. Donner un équivalent de :
1
1. ex+ x en +∞ ;
(
)
x+1
2. ln
en 2 ;
x+3
3. e
√
x+1
5. ln(x2 + 1) en +∞ ;
en +∞ ;
4. ln(cos x) en 0 ;
6. ln(ln x) en 1.
Exercice 2. Donner un équivalent des fonctions suivantes :
1. f (x) =
sin(x) ln(1 + x)
π
en et 0 ;
x tan(x)
2
2. f (x) =
5x − 1
en 0 ;
sin x
3. f (x) =
x3 + x2 + 1
en 0+ et +∞ ;
√
x + x2
sin(x)(ex − 1)
en 0 ;
cos x − 1
tan x − sin x
5. f (x) =
en 0 ;
shx
1 + xα
6. f (x) =
où (α, β) ∈ R2
ln(1 + xβ )
en 0 et +∞ ;
shx(chx − 1)
en 0 ;
sin x(cos x − 1)
arctan x
8. f (x) = √
en 0 ;
1+x−1
√
ex + x5
9. f (x) = 4
√ en 0 et +∞.
ln x + x
4. f (x) =
7. f (x) =
Exercice 3. Donner un équivalent des fonctions suivantes :
1
− tan x en
cos x
( )
ln 2x
π
π
;
2. f (x) =
en
2
cos2 x
1. f (x) =
π
2
;
π
;
4
( )
πx
2
4. f (x) = (x + ax + 3) tan
en
2
1;
π
5. f (x) = esin x − e en ;
2
√
1 + cos x
( ) en π.
6. f (x) = 5
ln πx
3. f (x) = tan x − 1 en
Exercice 4. ⋆ Donner un équivalent des fonctions suivantes :
1
1
1. f (x) = (x + 1) x+1 − x x en +∞ ;
2. f (x) = e
Exercice 5. À l’aide d’équivalents, déterminer les limites suivantes :
)
(
(1 − cos x) sin x
(1 − cos x) ln(1 + x2 )
;
4. lim exp
;
1. lim
x→0
x→0
x3
x2 tan x
ln(cos(2x))
3x − 1
5. lim
;
2. lim x
;
x→0 ln(cos(3x))
x→0 2 − 1
1
πx
6. lim (cos x) sin2 x ;
3. lim(ln x)tan( 2e ) ;
x→e
x→0
√
x+1
−e
√
x
en +∞.
7. lim √
x→0
sin x
1+x−1
;
1
8. lim (chx) sin2 x ;
x→0
9. lim (x2 + x − 2) tan
x→1
Exercice 6. ⋆À l’aide d’équivalents, déterminer les limites suivantes :
(sin x)x − 1
;
x→0
xx − 1
1. lim
(
πx
2. lim tan
x→1
4
)tan( πx2 )
;
3. limπ
x→ 4
cos(2x)
√ ;
2 sin x − 2
1
4. lim (2 + cos x) tan2 x .
x→π
Développements limités
Exercice 7. Calculer les développements limités à l’ordre indiqué au voisinage de 0 des fonctions suivantes :
√
(sin x) 1 + x − xex
1. f (x) = cos x − ln(1 + x) à l’ordre 3 ;
6. f (x) =
à l’ordre 2 ;
x
2. f (x) = ex − cos x à l’ordre 3 ;
√
ln(1 + x)
7. f (x) =
à l’ordre 3 ;
1 + 2x − cos x
1 + 2x
3. f (x) =
à l’ordre 2 ;
x
arctan x
8. f (x) =
à l’ordre 3 ;
4. f (x) = (cos x)(chx) à l’ordre 3 ;
1 + x2 √
5. f (x) = ex ln(1 + x) à l’ordre 3 ;
9. f (x) = sin x + 1 + x à l’ordre 3.
1
(
)
πx
.
2
Exercice 8. Calculer les développements limités à l’ordre 2 au voisinage de 0 des fonctions suivantes :
(
)
√
π
1. f (x) = e1+x ;
5. f (x) = 3 − 2x ;
3. f (x) = sin
+x ;
√
6
1 + 2x
sin x
6. f (x) = √
.
2. f (x) =
;
4. f (x) = ln(2 + x) ;
2−x
2−x
Exercice 9. Calculer les développements limités suivants :
1. DL3 ( 12 ) de f (x) = ln(2x) ;
√
2. DL3 (1) de f (x) = x ;
3. DL4 (1) de f (x) =
5. DL3 ( π4 ) de f (x) = ln(tan x) ;
1−x
7. DL2 (−1) de f (x) =
;
3 + 2x
√
8. DL3 ( π4 ) de f (x) = tan x ;
6. DL3 ( π6 ) de f (x) = ecos(2x) ;
9. DL3 (1) de f (x) = 1 − x −
4. DL2 ( 16 ) de f (x) = sin(πx) ;
ln x
;
x2 − 1
2x ln x
.
1+x
Exercice 10. Calculer les développements limités à l’ordre indiqué au voisinage de 0 des fonctions suivantes :
√
cos x à l’ordre 4 ;
1
2. f (x) =
à l’ordre 4 ;
cos x(
)
√
3. f (x) = exp cos x à l’ordre 2 ;
cos x
à l’ordre 2 ;
1 + ln(1 + x)
5. f (x) = cos(sin x) à l’ordre 4 ;
√
√
6. f (x) = ln( 1 + x − 1 − x) à l’ordre 2.
1. f (x) =
4. f (x) =
Exercice 11. Calculer les développements limités à l’ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions suivantes :
1. f (x) = arccos x ;
2. f (x) = arctan(shx) ;
( √
)
3+x
3. f (x) = arctan
√ .
1+x 3
Exercice 12. Déterminer les développements limités suivants :
∫
1. DL1 0(0) de F(x) =
x2
∫
dt
2x
2. DL5 (+∞) de G(x) =
;
√
x
1 + t4
1
.
Exercice 13. On pose f (x) =
(x − 1)(1 − x2 )
n
∑
1. On note son DLn (0) : f (x) =
ak xk + o(xn ).
√
x
dt
1 + t4
.
k=0
Justifier que ak est égal au nombre de couples (p, q) ∈ N2 tels que p + 2q = k, autrement dit le nombre de façon de payer
k euros à l’aide de pièces de 1 et 2 euros.
a
b
c
2. Trouver des constantes a, b et c telles que f (x) =
+
+
.
1 − x (1 − x)2 1 + x
En déduire la valeur de ak .
Exercice 14. La fontion f définie par f (x) =
1
admet à tout ordre n ≥ 0, un DLn (0) de la forme f (x) = a0 + a1 x +
1 + x + x2
a2 x2 + · · · + an xn + o(xn ). Pourquoi ?
Déterminer a0 , a1 , a2 , a3 , a4 puis en remarquant que f (x)(1 + x + x2 ) = 1, déterminer une relation de récurrence simple vérifiée
par les termes de la suite (an )n≥0 et enfin une expression de an .
Application des développements limités
Exercice 15. Calculer les limites suivantes :
tan x
;
x→0 ex − cos x
)
ex − 1
1
4. lim
;
x
x→0
x
e −1
sin x − shx
;
x→0 x(cos x − chx)
(
)2
1 x
5. lim x sin
;
x→+∞
x
1. lim
2. lim
ln(x + 1) − ln(x + 2)
)
(
;
3. lim
x→+∞
sin xx+1
2 +1
(
(
x
6. lim
x→0 tan x
) tan1 x
2
(ln(ln x))2 − cos5 x + ln x
;
x→+∞
2x − 50x6
7. lim
cos(3x) − cos x
;
x→0
x2
8. lim
2 +x
;
9. lim
x→1
ex
cos
− e2x
( ) ;
πx
2
ex − 1 + x2 + sin3 x
10. lim
;
√
3
x→0
1+x−1
(
11. lim
x→+∞
x2 + 2x − 3
x2 − x + 1
)x
;
esin x − ex
.
x→0 sin x − tan x
12. lim
Exercice 16. Déterminer a et b pour que f soit au voisinage de 0 un infiniment petit d’ordre maximal.
1. f (x) = sin x + ashx + b tan x ;
2. f (x) = cos x −
Exercice 17. Déterminer a et b pour que f (x) =
équivalent de f en 0.
1 + ax2
.
1 + bx2
a
b
1
+
+ x
tende vers 0 lorsque x tend vers 0. Donner alors un
x ln(1 + x) e − 1
Exercice 18. Montrer que les fonctions suivantes peuvent être prolongées de façon dérivable en 0 et donner alors la position de
la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de 0.
√
ln(1 + x) − sin x
xchx − shx
1 + 4x − ex
.
3. f (x) =
1. f (x) =
;
;
2.
f
(x)
=
x
chx − 1
x
xe
Exercice 19. Étudier les asymptotes éventuelles de C f pour f définie par :
)
)
(
(
x+1
x−1
x2 1
3. f (x) = x(3x + 2) ln
;
5. f (x) = (x − 2) exp
;
1. f (x) =
ex ;
x
x+1
x+1
1
1
√
√
6. f (x) =
− 2.
x
2. f (x) = cos(arctan x) ;
4. f (x) = x4 + x + 1 − x x2 + 1 ;
x(e − 1) x
√
x x2 + 1
.
Exercice 20. Soit f la fonction définie sur R\{1} par f (x) =
x−1
1. Donner le DL2 (0) de f . En déduire la tangente T0 à C f en 0 et leurs positions relatives.
( )
3
2. Montrer que f (x) = x + 1 + 2x
+ o 1x . En déduire la branche infinie de C f en +∞.
+∞
Exercice 21. Étudier les fonctions suivantes :
1. f (x) =
ln(1 + x)
;
ln x
√
2. f (x) = x2 + 2x + 2 ;
3. f (x) =
√
3
x2 (x − 2) ;
√
4. f (x) =
x3
;
x−1
7. f (x) = x
)
1
5. f (x) = x arctan
;
1+x
1
xe x
;
6. f (x) = 1
ex − 1
2
(
√1
x−1
;
1 + x ;
8. f (x) = (x2 − 1) ln 1 − x
(
)
1
9. f (x) = x = exp
.
x−1
Raccordements de solutions
Exercice 22. Soit l’équation différentielle :
2xy′ + y = 7x3 − 3x.
(E)
1. Montrer que (E) possède une solution polynômiale. On cherchera d’abord le degré.
2. Déterminer les solutions de (E) sur I1 =] − ∞, 0[ puis sur I2 =]0, +∞[.
3. Montrer qu’il n’y a qu’une solution sur l’intervalle R.
Exercice 23. Soit l’équation différentielle
xy′ + 2y =
x
.
1 + x2
(E)
1. Rappeler le DL3 (0) de la fonction arctan.
2. Résoudre (E) sur I1 =] − ∞, 0[ puis sur I2 =]0, +∞[.
3. Déterminer alors les solutions éventuelles de (E) sur R.
1
(2 méthodes possibles).
+ 1)
2. Soit I un intervalle de R ne contenant pas 0. Résoudre sur I :
Exercice 24.
1. Déterminer une primitive de φ(x) =
x(x2
x(x2 + 1)y′ + y = 0,
3
(EH )
3. Résoudre sur I :
√
4. Rappeler les DL2 (0) de u 7→ 1 + u.
x(x2 + 1)y′ + y = −x,
(E)
5. Montrer que (E) possède une et une seule solution sur R.
Exercice 25. On considère l’équation :
|x|y′ + (x − 1)y = x2 .
(E)
1. Montrer que les solutions de (E) sur I1 =]0, +∞[ sont de la forme y1 (x) = x + Axe−x .
2. Montrer que les solutions de (E) sur I2 =] − ∞, 0[ sont de la forme y2 (x) = x + 2 +
2+Bex
x .
3. Rappeler le DL2 (0) de la fonction exponentielle. Déterminer alors toutes les solutions de (E) sur R.
4
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