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Série d’exercices
Limites et comportements asymptotiques 3ème Sciences
Exercice 1 : Calculer les limites éventuelles suivantes :



 x  x 2 3 x  1 5 
 3x 5  x  5 

 
 2013x  x 3  1 

7
6

; lim 4x  4x x  2 ; lim 
lim 
 ; lim 
3
5
3
9

x 
x

x

x 


x

3
x
2
x

7


 x  5x x  2 




 x  x2  5 


4x  1 
4x  1 
 ; lim 5x  x 2  2 ; lim 
; lim 
lim 

 ;
 x   2
2
2
x  
x  
 x 
4
x

5
x

9
x

1
x

9
x

1







lim




x 



 x 1 
 x  x2
 x 3  2x 


; lim 
9x  x  1  3x ; lim
 ; lim 
5
x 3 
x 0  x  x 2
 x ( 2)  x 2  2x 
x

3





Exercice
2

 4  x2 
 ; lim 
;
 x 2  2  x 

2:
Dans la figure ci-dessous on a représenté dans un repère
orthonormé une fonction f . Sachant que :
 La droite d’équation : x = 2 est asymptote
verticale à la courbe de f en 2.
 La droite d’équation : y = −2 est asymptote
horizontale à la courbe de f en −∞.
 La droite d’équation : y  x 
7
2
est asymptote oblique à la courbe de f en +∞.
Par une lecture graphique
1) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2) Déterminer l’image de [−1 ,2[ par f.
3) Déterminer chacune des limites suivantes :
lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; lim f(x) ; limf(x) ; lim  f(x)  x 
x 
x 
x 1
x 2
x 2
x 2

x 
4) Déterminer chacune des limites suivantes : lim 2  f(x)

x 
3
f(x)  13
; lim
.
x  2  f(x)
x 2
f(x)
; lim
Exercice 3 :
x2  x  1
. On désigne par (Cf ) sa courbe
x

1
 
représentative dans un repère orthonormé ( o ; i ; j ) .
1) Montrer que la droite ( Δ ):x=1 est une asymptote verticale à (Cf ) .
2) Calculer les limites de f au voisinage de l’infini .
c
3) a) Déterminer trois réels a , b et c tel que f(x)  ax  b 
pour tout x ≠1.
x 1
b) En déduire que la droite ( Δ’ ): y= x+2 est une asymptote oblique à (Cf) au V (∞).
c) Etudier la position relative de (Cf ) et ( Δ’ ) .
4) soit Ω le point d’intersection de ( Δ ) et ( Δ’ ) .
a) Montrer que Ω (1,3).
b) Soient deux réels x’ et x’’ tels que : x’+x’’= 2. Montrer que f(x’)+f(x’’)=6.
c) En déduire que si M et N sont deux points de (Cf ) d’abscisses respectives x’ et x’’
alors M et N sont symétriques par rapport à Ω.
Soit la fonction f définie sur IR\{1} par f(x) 
Proposée par Boukadida Tahar
2013/ 2014
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Série d’exercices
Limites et comportements asymptotiques 3ème Sciences
Exercice 4 :
 x x  1  x si x  0

Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) =  2
x  x
si x  0
 x
1) Montrer que f est continue en 0.
2) Calculer les limites de f en   et en   .
3) a) Montrer que l’équation f(x)=0 admet au moins une solution  ]0,1[ .
1
1
b) Montrer que 1   
et déduire que  ] ,1[ .

2
Exercice 5 :

3x 2  2x  1
f(x)

si
x  2

x

2


x2  1  1
si  2  x  0
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) 
x

f(x)  x 2  1  x
si
x0


On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Calculer et interpréter graphiquement lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) et lim f(x)
x 
x ( 2)
x ( 2)
x 
2) a) f est-elle continue en −2 ? Justifier.
b) Etudier la continuité de f à gauche et à droite en 0 .
15
x2
b) En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique (∆) dont on donnera une équation.
c) Etudier la position relative de (Cf) par rapport à (∆) sur l’intervalle]-∞ , -2[.
4) Soit M un point de (Cf) d’abscisse a et P un point de (∆) d’abscisse a où a <−2.
Déterminer une condition suffisante sur a pour que la distance PM < 10−3 .
3) a) Vérifier que pour tout réel x < −2, on a : f(x)  3x  8 
Exercice 6 :
4  5x

f(x)


2 1  x 
On considère la fonction f définie sur IR\{1} par : 

2
f(x)  4x  7
si
x  2 et x  1
si
x2
On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) a/ Calculer lim f(x) et lim f(x) . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
x 
x 
b/ Montrer que la droite : x=1 est asymptote verticale à (Cf) à droite et à gauche en 1.
c/ Montrer que la droite ∆ : y =2x est asymptote oblique à (Cf) au voisinage de +∞.
d/ Etudier la position relative de (Cf) et ∆ sur  2 ,   
2) Montrer f est continue en 2.
3) On considère la fonction g définie sur IR\{1 ,2} par g(x) 
f  x   f  2
x2
a/ Calculer lim g(x) et lim g(x)
x  2
x  2
b/ la fonction g est-elle prolongeable par continuité en 2 ? Justifier.
Proposée par Boukadida Tahar
2013/ 2014
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