Cours 07 - Vincent obaton

1
Lycée Stendhal (Grenoble)
Niveau :
Terminale S
Titre Cours :
Chapitre 06
La fonction logarithme népérien
Année :
2014-2015
Johan Napier (Neper)
(1550-1617)
Inventeur du logarithme
Citation du moment :
«Le but des mathématiques est de déterminer les grandeurs les unes par les autres, d'après les
relations précises qui existent entre elles.» (Auguste Comte)
I.
Introduction et définition
1. Activité d’introduction
Pour tout x ]0; [ , quel est le nombre de solution de l’équation e y  x ?
Définition 01 :
Pour x ]0; [ , ln x est l’unique nombre dont l’exponentielle vaut x : e ln x  x
Définition 02 :
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction
exponentielle. Elle est donc définie sur ]0; [ et à tout x ]0; [ elle lui associe le
nombre réel noté ln x tel que e ln x  x
ln : x
@Vincent Obaton
ln x
Site Internet : www.vincentobaton.fr
2
Lycée Stendhal (Grenoble)
2. Conséquences
 Pour obtenir la courbe de la fonction logarithme, il faut faire la symétrie de la
courbe de la fonction exponentielle, par rapport à la droite d’équation y  x
 Df 
 x  0 ,
 ln1 
 
et ln e x 
eln x 
et ln e 
 x  0 , y 
: y  ln x  x 
 ln est dérivable en 1 et ln'(1) 
 L’équation réduite de la tangente à la courbe du logarithme népérien, au point
d’abscisse 1 est y 
@Vincent Obaton
Site Internet : www.vincentobaton.fr
3
Lycée Stendhal (Grenoble)
II.
Propriétés du logarithme népérien
Propriétés : a et b sont deux réels strictement positifs.
 ln( a  b)  ln a  ln b
a
 ln    ln a  ln b
b
 1
 ln     ln a
a
 n 
 ln
 
, ln an  n  ln a
 a   21 ln a
Démonstrations :
@Vincent Obaton
Site Internet : www.vincentobaton.fr
4
Lycée Stendhal (Grenoble)
III.
Variations
Théorème 01 :
Le fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0; [ et pour tout x  0
ln'( x) 
1
x
Démonstration :
ln x  ln a
x a
xa
1. Déterminer, si elle existe, cette limite en posant y  ln x et b  ln a .
Pour a ]0; [ , on cherche lim
2. Conclure
Conséquences :
 La fonction ln est strictement croissante sur ]0; [
a et b sont deux réels strictement positifs.
 ln a  ln b 

 ln a  ln b 

 ln a  0  a 
 ln a  0 
@Vincent Obaton
a
Site Internet : www.vincentobaton.fr
5
Lycée Stendhal (Grenoble)
Théorème 02 :
Soit une fonction u dérivable sur I et strictement positive sur I alors la fonction
f :x
ln u( x) est dérivable sur I et pour tout x de I
f '( x) 
u '( x)
u( x)
Démonstration :
IV.
Limites
Théorème 03 : lim ln x   et lim ln x  
x

x
0
Démonstration
 Pour tout A  0 , dès que x  e A alors ln x  
;
 donc par définition
lim ln x 
x
 En posant x 
Théorème 04 : n
1
, montrer alors que lim ln x  
x 0
X
*
ln x
0
 x n
lim
x
@Vincent Obaton

et
lim xn ln x  0
x
0
Site Internet : www.vincentobaton.fr
6
Lycée Stendhal (Grenoble)
Démonstration :
Théorème 05 :
lim
x
0
ln(1  x)
1
x
et
lim
x
1
ln x
1
x 1
Démonstration : on note f la fonction logarithme népérien.
 lim
f ( x  1)  f (1)
:
x
 lim
f ( x)  f (1)
:
x 1
x
x
@Vincent Obaton
0
1
Site Internet : www.vincentobaton.fr
7
Lycée Stendhal (Grenoble)
V.
Etude de la fonction logarithme
1. Tableau des variations
x
f '( x)
0
||
f
||
||
||




2. Courbe représentative
VI.
Suppléments
 Pour a  0 et n
n
: an  e ln( a )  e n ln a
 La fonction logarithme décimal est la fonction notée log définie sur ]0; [
par
log( x) 
ln x
ln10
Remarques : log10  1 ; log100  2 ; log 10n  n ( n * )
@Vincent Obaton
Site Internet : www.vincentobaton.fr

Download Report