2 exercices corrigés sur les fonctions logarithmes et exponentielles

Exercices : fonction logarithme et fonction exponentielle
Exercice n°1 : Application à la thermodynamique
On laisse refroidir une tasse de café dans une pièce où la température est constante et égale à 20°C.
La loi de refroidissement de Newton permet de dire que la température en °C du café f(t) à l'instant t
(exprimé en minutes) est donnée sous la forme f(t)=Q ekt +20 où Q et k sont deux constantes
réelles.
1) A l'instant t = 0, la température initiale du café est égale à 70 °C. Déterminer Q.
2) A l'intant t = 5, la température du café est de 60 °C. Déterminer k.
3) Quelle est la température du café au bout de 10 minutes ?
4) Combien faut-il de temps pour que la température du café ait diminué de moitié ?
5) Calculer la limite suivante : lim f(t) .
t →+∞
Exercice n°2 :
f est la fonction définie sur l'ensemble des réels par :
f(x)=x− 4+ln (1+e 3x)
(C) est sa courbe représentative dans le repère orthogonal (O , ⃗i , ⃗j ) .
1) Justifier que la fonction f est croissante.
2) Quelle est la limite de ln( 1+e3x ) en −∞ ?
3) En déduire l'existence d'une asymptote dont on précisera une équation.
4) Montrer que, pour tout x réel :
f (x)=4x−4+ln( 1+e−3x)
5) Quelle est la limite de ln( 1+e−3x ) en +∞ ?
6) En déduire l'existence d'une seconde asymptote dont on précisera une équation.
7) Tracer (C) et ses asymptotes dans le repère (O , ⃗i , ⃗j ) .
Exercice n°1 : correction
1)
f(0)=Q ek×0+20= Q+20= 70 donc Q = 70 – 20 = 50.
f(t)=50 e kt+20
Q = 50 et
2)
f(5)=50 e k×5+20=60
50 e 5k= 40
e 5k =0,8
ln (e 5k)=ln( 0,8)
5k=ln(0,8)
1
k= ×ln(0,8)
5
Conclusion :
k=0,2ln(0,8) et
f(t)=50 e 0,2 ln(0,8)×t+20
3) La température au bout de 10 minutes est égale à l'image de 10 par la fonction f.
f(10)=50 e0,2 ln(0,8 )×10+20
f(10)=50 e2ln (0,8 )+20
ln(0,82 )
f(10)=50 e
+20
2
f(10)=50× 0,8 +20
f(10)=50× 0,64+20
f(10)=32+20
f(10)=52
Conclusion : au bout de 10 minutes la température du café est de 52 °C
4) Nous cherchons la solution de l'équation suivante d'inconnue t :
f(t)=
f(0)
2
50 e 0,2 ln(0,8)×t+20=35
50 e 0,2ln( 0,8)×t=15
e 0,2 ln(0,8)×t=0,3
ln(e 0,2 ln(0,8)×t)=ln(0,3)
0,2ln(0,8)×t=ln(0,3)
ln( 0,3)
0,2×t=
ln( 0,8)
ln(0,3)
t=5×
ln(0,8)
t≈27
Conclusion : il faut attendre 27 minutes environ pour que la température diminue de moitié
5)
lim e 0,2 ln(0,8)×t=0 car
t →+∞
0,2ln(0,8)<1 et
lim e−x=0 . Donc :
x →+∞
lim 50 e 0,2ln(0,8 )×t=0
t →+∞
lim f(t)=20
t →+∞
La température du café tend vers la température de la pièce !
Exercice n°2 : correction
1)
x → 3x est croissante ;
croissante ;
2)
x → e 3x est croissante ; x → 1+e 3x est croissante ;
x → x−4 est croissante. Finalement :
lim e3x=0 donc :
x →−∞
x → ln ( 1+e3x ) est
x → x−4+ln (1+e3x ) est une fonction croissante.
lim 1+e3x=1 . On en déduit que :
lim ln(1+e 3x )=ln(1)=0 .
x →−∞
x →−∞
lim ln(1+e 3x )=0
x →−∞
3) On pose pout tout réel x :
g(x)=ln (1+e 3x) . On a alors :
f (x)=x−4+g(x) avec
lim g(x)=0 .
x →−∞
La courbe (C) admet la droite d'équation y = x – 4 comme asymptote en −∞ .
4)
f (x)=x−4+ln(1+e 3x )
f (x)=x−4+ln( e 3x(e −3x+1) )
f (x)=x−4+ln( e
)+ln (e +1)
f (x)=x−4+3x+ln (1+e )
f (x)=4x−4+ln (1+e )
3x
−3x
−3x
−3x
5)
lim e−3x=0 donc :
x →+∞
lim 1+e−3x=1 . On en déduit que :
x →+∞
lim ln(1+e −3x )=ln(1)=0 .
x →+∞
lim ln(1+e−3x )=0
x →+∞
6) On pose pour tout réel x : h( x)=ln (1+e−3x ) . On a alors : f (x)=4x−4+h( x) avec
lim h( x)=0 .
x →+∞
La courbe (C) admet la droite d'équation y = 4x – 4 comme asymptote en +∞ .
7)

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